miniaturadaimagem|Plot de (vermelho), o desvio padrão (azul) e o limite dado pela LIL (verde). Note que ele muda de forma aleatória do limite superior para o inferior. Os eixos não são lineares para fazer esse efeito mais visível. Na teoria das probabilidades, a lei do logaritmo iterado (também chamada de LIL, do inglês law of iterated logarithm) descreve a magnitude da oscilação do passeio aleatório. A definição original desta lei foi feita pelo matemático soviético Aleksandr Khinchin em 1924.A. Khinchine. "Über einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung", Fundamenta Mathematica, 6:9-20, 1924. (The author's name is shown here in an alternate transliteration.) No entanto, a tese contida nesta foi expandida por Andrei Kolmogorov em 1929.A. Kolmogoroff. "Über das Gesetz des iterierten Logarithmus". Mathematische Annalen, 101:126-135, 1929. (At the Göttinger DigitalisierungsZentrum web site)
Definição Seja variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média zero e desvio unitário. Seja . Então,
onde é o logaritmo natural, indica o limite superior, e significa "quase certamente".Leo Breiman. Probability. Original edition published by Addison-Wesley, 1968; reprinted by Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. (See Sections 3.9, 12.9, and 12.10; Theorem 3.52 specifically.)Varadhan, S. R. S. Stochastic processes. Courant Lecture Notes in Mathematics, 16. Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 2007.
Discussão A lei de iterado logaritmos opera "entre" a lei dos grandes números e o teorema central do limite. Existem duas versões da lei dos grandes números — a fraca e a forte — e ambas afirmam que as somas , dimensionadas por , convergem para zero, respectivamente em probabilidade e quase certamente:
Por outro lado, o teorema central do limite afirma que as somas dimensionadas pelo fator convergem em distribuição para uma distribuição normal padrão. Pela lei zero-um de Kolmogorov, para qualquer fixo, a probabilidade de que o evento ocorra é 0 ou 1. Então
o que resulta que
Argumento idêntico mostra que
Isto implica que essas quantidades não convergem quase certamente. Ainda, eles também não convergem em probabilidade, o que resulta da igualdade
e o fato de que as variáveis aleatórias
são independentes, e ambas converge em distribuição para
A lei do logaritmo iterado fornece o fator de escala, onde os dois limites tornam-se diferentes:
Assim, embora a quantidade é menos do que qualquer predefinidos com probabilidade se aproximando de um, essa quantidade, no entanto, irá sair desse intervalo infinitamente, e de fato irá passar nos vizinhos de qualquer ponto no intervalo quase certamente.
Generalizações e variantes miniaturadaimagem|Exposição de teoremas do limite e suas interrelações.A lei do logaritmo iterado para uma soma de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média zero e incrementos delimitados remontam a Khinchin e Kolmogorov na década de 1920. Desde então, há uma enorme quantidade de trabalhos sobre a LIL para vários tipos de estruturas dependentes e processos estocásticos.
Hartman e Wintner generalizaram a lei do logaritmo iterado para passeios aleatórios com incrementos com zero de média e variância finita. Strassen estudou a LIL do ponto de vista dos princípios da invariância. Stout generalizou a LIL para martingales estacionários e ergódicos.Stout, William F. “The Hartman-Wintner Law of the Iterated Logarithm for Martingales.” The Annals of Mathematical Statistics, vol. 41, no. 6, 1970, pp. 2158–2160., www.jstor.org/stable/2240358. Acosta fez uma prova simples da versão de LIL de Hartman e Wintner. Wittmann generalizou a versão de LIL de Hartman e Wintner para passeios aleatórios satisfazendo condições mais amenas. Vovk derivou uma versão de LIL válida para uma única sequência caótica (sequência aleatória de Kolmogorov). Isso é notável por estar fora do reino da teoria da probabilidade clássica. Yongge Wang mostrou que a lei do logaritmo iterado se mantém para sequências pseudo-aleatórias de tempo polinomial.Y.Wang: The law of the iterated logarithm for p-random sequences. In: Proc. 11th IEEE Conference on Computational Complexity (CCC), pages 180-189. IEEE Computer Society Press, 1996. http://webpages.uncc.edu/yonwang/papers/CCC96.pdfY.Wang: Randomness and Complexity. PhD Thesis, 1996. http://webpages.uncc.edu/yonwang/papers/thesis.pdf
Ver também Teorema central do limite Lei dos grandes números Movimento browniano
Categoria:Processos estocásticos