thumb|Gráfico do núcleo de Dirichlet para pequenos valores de n. Em análise matemática, o núcleo de Dirichlet, nomeado em homenagem ao matemático alemão Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, é o polinômio trigonométrico da forma
Este polinômio trigonométrico está definido para todo n inteiro positivo e é encontrado no estudo das séries de Fourier.
Forma complexa Usando-se as expressões e , o núcleo de Dirichlet pode ser escrito na forma complexa como
Propriedades
é uma função periódica e de período 2L; é uma função contínua; é uma função par;
, para
Demonstração da identidade trigonométrica A identidade trigonométrica
enunciada acima pode ser demonstrada conforme a seguir.
A fórmula para a soma de termos em progressão geométrica é dada por:
Em particular, tem-se:
Multiplicando tanto o numerador como o denominador por , obtemos:
No caso esse expressão se torna:
como desejado.
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