Seja uma função , ou seja, uma função cujo domínio são os pares , com . Suponha, então, uma rede limitada à esquerda e acima com os termos , conforme ilustrado abaixo
Denotamos por a sequência dupla dessa função.
O valor do termo dessa sequência, correspondente à posição , é chamado de termo da sequência dupla. É fácil notar que, como a sequência é definida em , e .
Convergência
Dizemos que uma sequência dupla é convergente se .
Assim, é convergente se . Como é único, ele é chamado de limite duplo de e é denotado por .
Teorema do limite em sequências duplas Tome , isso implica
(1)
(2)
(3)
(4) seja , e
Critério de Cauchy para convergência
Uma sequência dupla é convergente se e somente se é uma sequência dupla de Cauchy.
Imediato. Seja uma sequência dupla de Cauchy, tome as sequências diagonais , para .
Oras, é uma sequência de Cauchy. A prova segue, então, do Critério de Cauchy de uma variável.
Seja e dado,
Como é Cauchy, e
Pela desigualdade triangular
. Logo, converge para .
Teorema da troca de limites Se uma sequência dupla tem limite duplo e um (ou ambos) os limites iterados, então esses limites têm que ser iguais.
Como o limite duplo existe, dado ,.
Segue que, se existe e , podemos levar em para obter , se , de modo que , cqd.
Referências
Categoria:Sucessões