Na física, a teoria de Kaluza–Klein (teoria KK) é uma proposta de teoria de campo unificado que visa unificar a gravitação e o eletromagnetismo com base na postulação de uma quinta dimensão espacial além do espaço-tempo quadridimensional convencional da relatividade geral. De acordo com essa formulação, existem três dimensões espaciais e uma temporal complementadas por uma dimensão espacial adicional compactada na forma de um círculo microscópico. A teoria foi nomeada em homenagem a Theodor Kaluza e Oskar Klein. Embora não encontre suporte em observações experimentais, constitui um precursor histórico fundamental da supergravidade e da moderna teoria das cordas (em modelos com espaço-tempo de onze dimensões).
Hipótese de Kaluza Em seu artigo publicado em 1921, Kaluza estruturou todos os elementos constitutivos da teoria clássica pentadimensional: a métrica de Kaluza–Klein, as equações de campo de Einstein–Kaluza–Klein, as equações de movimento, o tensor de energia-momento e a condição de cilindro. Sem introduzir parâmetros livres adicionais, a formulação estende a relatividade geral diretamente para cinco dimensões. Inicialmente, postula-se a existência de uma métrica pentadimensional , onde os índices latinos variam sobre as cinco dimensões. Introduzem-se simultaneamente a métrica do espaço-tempo quadridimensional (cujos índices gregos abrangem as quatro dimensões usuais de espaço e tempo), um quadrivetor identificado com o potencial vetor eletromagnético e um campo escalar . A métrica pentadimensional é decomposta de modo que a métrica 4D seja enquadrada pelo potencial eletromagnético, com o campo escalar posicionado no quinto elemento da diagonal principal:
De maneira mais precisa:
onde o índice designa, por convenção, a quinta coordenada, sendo as quatro primeiras denotadas por 0, 1, 2 e 3. A métrica inversa correspondente assume a forma:
Essa decomposição exibe caráter puramente geral e todos os seus termos são adimensionais. Kaluza aplicou o aparato formal da relatividade geral padrão sobre essa métrica. As equações de campo são deduzidas das equações de campo de Einstein em cinco dimensões, enquanto as equações de movimento decorrem da hipótese geodésica pentadimensional. As equações de campo resultantes reproduzem tanto as equações de campo de Einstein quanto a eletrodinâmica de Maxwell; em paralelo, a equação geodésica em 5D decompõe-se na equação geodésica quadridimensional somada à força de Lorentz, estabelecendo que a carga elétrica pode ser identificada cinematicamente com o movimento ao longo da quinta dimensão.
A hipótese métrica implica um elemento de linha invariante pentadimensional :
Equações de campo a partir da hipótese de Kaluza As equações de campo da teoria pentadimensional não foram fornecidas de maneira analiticamente completa por Kaluza ou por Klein devido à desconsideração da dinâmica do campo escalar. A formulação integral das equações de campo de Kaluza é comumente atribuída a Thiry, que obteve as equações no vácuo, embora Kaluza houvesse proposto originalmente um tensor de energia-momento e Thiry incluísse termos de matéria em sua tese. Conforme demonstrado por Goenner, múltiplos grupos de pesquisa independentes trabalharam nessas equações nas décadas de 1940 e anteriores. Thiry tornou-se amplamente citado em virtude da tradução para a língua inglesa publicada por Appelquist, Chodos e Freund em sua monografia de revisão. As traduções dos três artigos publicados por Pascual Jordan (1946, 1947, 1948) encontram-se disponíveis em arquivos científicos abertos. O cálculo computacional rigoroso das equações de campo de Kaluza com o campo escalar dinâmico foi desenvolvido por Williams em 2015.
Para obter as equações de campo de Einstein em 5D, calculam-se os símbolos de Christoffel pentadimensionais a partir da métrica , derivando subsequentemente o tensor de Ricci pentadimensional .
As derivações clássicas de Thiry e de outros autores baseiam-se na imposição da chamada condição de cilindro:Sem essa simplificação restritiva, as equações tornam-se consideravelmente mais complexas, introduzindo novos graus de liberdade identificáveis com outros campos. Paul Wesson e colaboradores investigaram o relaxamento da condição de cilindro com o intuito de derivar termos geométricos que atuem como campos de matéria, os quais Kaluza havia introduzido de forma fenomenológica.
Uma crítica epistemológica frequente à proposta original de Kaluza residia em invocar uma dimensão adicional para logo em seguida neutralizar sua dinâmica independente. Thiry contra-argumentou que a emergência natural da força de Lorentz a partir de uma geodésica em cinco dimensões constituía justificativa teórica suficiente para a existência da quinta coordenada, independentemente da rigidez da condição cilíndrica. Dessa forma, a literatura preservou majoritariamente a condição de cilindro. No regime de vácuo pentadimensional, impõe-se:ondee
As equações de campo no vácuo obtidas por Thiry e pela equipe de Jordan organizam-se da seguinte forma:
A equação de campo para o escalar deriva da componente puramente extra:onde , , e designa a derivada covariante quadridimensional usual. Essa relação estabelece que o campo eletromagnético atua como fonte para o campo escalar. Caso o campo escalar seja forçado a assumir uma constante estrita, isso impõe uma restrição física artificial sobre os invariantes do campo eletromagnético (), detalhe omitido nas primeiras análises de Kaluza e Klein.
A equação de campo para o potencial advém da componente mista:Se o campo escalar for constante, essa expressão reduz-se exatamente às equações de Maxwell no vácuo: .
A equação de campo para o tensor de Ricci quadridimensional é deduzida da combinação dos tensores de Einstein:onde representa o escalar de curvatura de Ricci 4D.
Essa equação revela o resultado notável denominado "milagre de Kaluza": a forma exata do tensor de energia-momento eletromagnético manifesta-se espontaneamente a partir das equações de vácuo em 5D atuando como termo-fonte nas equações quadridimensionais. Essa identificação permite estabelecer como o potencial vetor físico do eletromagnetismo, exigindo uma constante de conversão de escala tal que .
A correspondência dimensional impõe:onde é a constante gravitacional, é a velocidade da luz e é a permeabilidade do vácuo. Na teoria de Kaluza, a constante gravitacional atua matematicamente como uma constante de acoplamento eletromagnético na estrutura métrica. O campo escalar regula a intensidade desse acoplamento com a curvatura local. O sinal positivo de garante que a densidade de energia eletromagnética permaneça positiva, e a quinta coordenada possui assinatura puramente espacial.
Na presença de matéria ordinária, o vácuo pentadimensional deixa de ser válido. As equações integrais exigem o cômputo do tensor de Einstein em 5D: A complexidade algébrica das componentes completas desse tensor levou a imprecisões em publicações históricas, as quais foram retificadas por simulações computacionais de álgebra tensorial em 2015.
Equações de movimento a partir da hipótese de Kaluza As equações de movimento decorrem da hipótese geodésica pentadimensional formulada em termos da pentavelocidade :
Essa relação dinâmica foi extensamente analisada sob diversas representações por Pauli, Gross & Perry, Gegenberg & Kunstatter e Wesson & Ponce de Leon. A conversão para o tempo próprio quadridimensional convencional, , vincula-se ao elemento conforme:
A equação geodésica pentadimensional projeta-se sobre as componentes espaço-temporais da quadrivelocidade como:
O termo quadrático em reproduz a equação geodésica quadridimensional acompanhada de contribuições do campo de Maxwell:
O termo linear em reproduz com precisão a força de Lorentz:
Essa dedução constitui outra faceta do "milagre de Kaluza". A parametrização métrica que gera o tensor de energia-momento de Maxwell nas equações de campo é a mesma que produz a dinâmica da força de Lorentz a partir da geodésica livre. Esse acoplamento exige a identificação da quinta componente da velocidade com a carga elétrica específica da partícula:onde representa a massa inercial e a carga elétrica da partícula. A carga elétrica é compreendida, portanto, como uma manifestação do movimento inercial ao longo da quinta dimensão.
Contudo, a teoria depara-se com uma dificuldade mecânica originada no termo proporcional a :Na ausência de gradientes no campo escalar, esse termo anula-se. Não obstante, na presença de variações em , a equivalência cinemática impõe: Para partículas subatômicas fundamentais como o elétron, a razão carga-massa produz valores extremamente elevados, . Consequentemente, o termo quadrático dominaria as acelerações espaciais em desacordo com as observações físicas usuais. Esse impasse representou a principal deficiência identificada por Kaluza em seu estudo seminal.
Sob a condição de cilindro, a equação para a componente covariante simplifica-se notavelmente a partir da forma variacional:Como a métrica independe da quinta coordenada (), configura uma constante de movimento estrita:
Hipótese de Kaluza para o tensor de energia-momento da matéria Kaluza introduziu fenomenologicamente um tensor de energia-momento pentadimensional de matéria pura sob a forma de um fluido sem pressão:onde denota a densidade própria de massa.
A projeção puramente quadridimensional recupera o modelo cosmológico clássico de poeira:
Por sua vez, a componente mista reproduz o termo de fonte da quadricorrente nas equações de Maxwell:
Assim como a métrica pentadimensional abriga a métrica do espaço-tempo acoplada ao potencial vetor eletromagnético, o tensor de energia-momento pentadimensional unifica o tensor de tensões da matéria com a densidade de corrente de carga elétrica.
Interpretação quântica de Klein A formulação original de Kaluza fundamentava-se na mecânica puramente clássica. Em 1926, influenciado pelos desenvolvimentos de Schrödinger, Heisenberg e Louis de Broglie, Oskar Klein publicou um artigo na revista Nature propondo que a quinta dimensão é fechada, microscópica e periódica. Sob esse postulado, a carga elétrica quantizada reflete a existência de ondas estacionárias caracterizadas por um comprimento de onda ao longo da coordenada circular, de modo análogo às órbitas eletrônicas do modelo atômico de Bohr. A quantização da carga elétrica torna-se equivalente à quantização do momento linear na quinta dimensão. Relacionando a velocidade de Kaluza com a relação de de Broglie (), Klein deduziu o modo fundamental:
onde é a constante de Planck. Klein calculou que , oferecendo uma explicação física para a validade da condição de cilindro: a dimensão extra seria imperceptível em escalas macroscópicas devido ao seu raio subatômico.
Em artigo mais detalhado na Zeitschrift für Physik, Klein formulou uma equação ondulatória de tipo Schrödinger em cinco dimensões, demonstrando que as ressonâncias espaciais fechadas na quinta dimensão projetam-se em quatro dimensões como partículas carregadas pontuais dotadas de massa.
Interpretação na teoria de grupos moldura|esquerda|O espaço é compactado sobre o espaço compacto ; após a decomposição de Kaluza–Klein, obtém-se uma teoria de campo efetiva sobre a variedade de base .
A proposta geométrica de Klein estabelece que a dimensão espacial extra encontra-se enrolada em um círculo de raio infinitesimal . Esse processo de redução dimensional por confinamento topológico denomina-se compactificação.