thumb|direita|Demonstração geométrica do teorema das três perpendiculares De acordo com o teorema das três perpendiculares: se são dados, no espaço, o plano e as retas e , com perpendicular a em e contida em . Se pertence a e pertence a , então é perpendicular a se, e somente se, é perpendicular a .
Demonstração Proposição I
Dados uma reta e um plano , temos se, e só se, for ortogonal a duas retas concorrentes de .
Note que:
Suponha, agora que . Então, uma vez que e são concorrentes, segue da proposição I que ; em particular, . Reciprocamente, suponha que . Como e são concorrentes, segue novamente da proposição I que ; em particular, .
Obs: representa o plano que contém as retas e .
Enunciando o teorema de outra forma “A reta é perpendicular ao plano no ponto . A reta está contida em e não passa por . O ponto da reta é tal que é perpendicular a . Então, se é qualquer ponto de , é perpendicular a .
thumb
Uma demonstração utilizando apenas o teorema de Pitágoras Pelo enunciado os triângulos , e são todos retângulos e afirma que o também é retângulo.
Sendo assim devemos provar a afirmação. Temos:
(I) ou (II) (III)
Substituindo II e III em I, temos:
, logo: , provando assim que o também é retângulo.
Aplicação
thumb Na pirâmide da figura, a base é um quadrado de área e é sua altura que mede e está apoiada no vértice . A área do triângulo desta pirâmide pode ser obtida da seguinte forma:
Como a base é um quadrado os lados medem , sendo a altura e a base um quadrado temos que e . Logo, pelo teorema das três perpendiculares e consequentemente é retângulo e como é altura o também é retângulo.
Ver também Perpendicularidade
Categoria:Teoremas