thumb|300px|Interpretação geométrica do ângulo entre dois vetores definido usando um produto interno alt=Espaços com produto escalar, espaços com produto interno, espaços com produto hermiteano.|thumb|300px|Espaços com produto escalar, sobre qualquer corpo, têm "produtos escalares" que são simétricos e lineares no primeiro argumento. Espaços com produto hermiteano são restritos ao corpo dos números complexos e têm "produtos hermiteanos" que são conjugado-simétricos e lineares no primeiro argumento. Espaços com produto interno podem ser definidos sobre qualquer corpo, tendo "produtos internos" que são lineares no primeiro argumento, conjugado-simétricos e definidos positivos. Ao contrário dos produtos internos, os produtos escalares e os produtos hermiteanos não precisam ser definidos positivos.

Em matemática, um espaço com produto interno é um espaço vetorial real ou complexo dotado de uma operação chamada produto interno. O produto interno de dois vetores no espaço é um escalar, frequentemente denotado com colchetes angulares como em . Produtos internos permitem definições formais de noções geométricas intuitivas, como comprimentos, ângulos e ortogonalidade (produto interno nulo) de vetores. Espaços com produto interno generalizam os espaços vetoriais euclidianos, nos quais o produto interno é o produto escalar ou produto escalar de coordenadas cartesianas. Espaços com produto interno de dimensão infinita são amplamente utilizados em análise funcional. Espaços com produto interno sobre o corpo dos números complexos são por vezes chamados de espaços unitários. O primeiro uso do conceito de espaço vetorial com produto interno deve-se a Giuseppe Peano, em 1898.

Um produto interno induz naturalmente uma norma associada (denotada e na figura); assim, todo espaço com produto interno é um espaço vetorial normado. Se esse espaço normado também for completo (isto é, um espaço de Banach), então o espaço com produto interno é um espaço de Hilbert. Se um espaço com produto interno não é um espaço de Hilbert, ele pode ser estendido por completamento a um espaço de Hilbert Isso significa que é um subespaço linear de o produto interno de é a restrição daquele de e é denso em para a topologia definida pela norma.

Definição Neste artigo, denota um corpo que é ou os números reais ou os números complexos Um escalar é, portanto, um elemento de . Uma barra sobre uma expressão que representa um escalar denota o conjugado complexo desse escalar. Um vetor nulo é denotado por para distingui-lo do escalar .

Um espaço com produto interno é um espaço vetorial sobre o corpo juntamente com um produto interno, isto é, uma aplicação

que satisfaz as seguintes três propriedades para todos os vetores e todos os escalares

Simetria conjugada: Como se e somente se é real, a simetria conjugada implica que é sempre um número real. Se é , a simetria conjugada é apenas simetria. Linearidade no primeiro argumento:Combinando a propriedade de linearidade no primeiro argumento com a propriedade de simetria conjugada prova-se a conjugado-linearidade no segundo argumento: . Esta é a forma como o produto interno foi originalmente definido e é usada na maioria dos contextos matemáticos. Uma convenção diferente foi adotada na física teórica e na mecânica quântica, originada na notação bra-ket de Paul Dirac, onde o produto interno é considerado linear no segundo argumento e conjugado-linear no primeiro argumento; esta convenção é usada em muitos outros domínios, como engenharia e ciência da computação. Positividade definida: se não é nulo, então (a simetria conjugada implica que é real).

Se a condição de positividade definida for substituída apenas pela exigência de que para todo , então obtém-se a definição de forma hermiteana semidefinida positiva. Uma forma hermiteana semidefinida positiva é um produto interno se e somente se para todo , se então .

Propriedades básicas Nas propriedades seguintes, que resultam quase imediatamente da definição de produto interno, e são vetores arbitrários, e e são escalares arbitrários. onde o lado direito da segunda igualdade vem da linearidade no primeiro argumento. é provado de forma semelhante usando a simetria conjugada e a linearidade no primeiro argumento. é real e não negativo., portanto é um número real. Para , é um número real positivo pela positividade definida. Para , é zero pela 1ª propriedade básica acima. Portanto, é real e não negativo. se e somente se Pela 2ª propriedade básica acima e pela positividade definida. , isto é, conjugado-linearidade (no segundo argumento).Isso implica que um produto interno é uma forma sesquilinear. onde denota a parte real de seu argumento.

Sobre , a simetria conjugada reduz-se à simetria, e a sesquilinearidade reduz-se à bilinearidade. Assim, um produto interno num espaço vetorial real é uma forma bilinear simétrica definida positiva. A expansão binomial de um quadrado torna-se

Notação

Várias notações são usadas para produtos internos, incluindo , , e, bem como o habitual produto escalar.

Variação de convenção

Alguns autores, especialmente em física e álgebra matricial, preferem definir produtos internos e formas sesquilineares com linearidade no segundo argumento em vez do primeiro. Então o primeiro argumento torna-se conjugado-linear, em vez do segundo. A notação bra-ket em mecânica quântica também usa notação ligeiramente diferente, ou seja, , onde .

Exemplos

Números reais e complexos

Entre os exemplos mais simples de espaços com produto interno estão e Os números reais são um espaço vetorial sobre que se torna um espaço com produto interno com a multiplicação aritmética como seu produto interno:

Os números complexos são um espaço vetorial sobre que se torna um espaço com produto interno com o produto interno Ao contrário dos números reais, a atribuição define um produto interno complexo em

Espaço vetorial euclidiano

Mais geralmente, o espaço real -dimensional com o produto escalar é um espaço com produto interno, um exemplo de espaço vetorial euclidiano.onde é a transposta de

Uma função é um produto interno em se e somente se existe uma matriz simétrica definida positiva tal que para todos Se é a matriz identidade, então é o produto escalar. Para outro exemplo, se e é definida positiva (o que acontece se e somente se e um/ambos os elementos diagonais são positivos), então para quaisquer Como mencionado anteriormente, todo produto interno em é desta forma (onde e satisfazem ).

Espaço coordenado complexo

A forma geral de um produto interno em é conhecida como forma hermiteana e é dada por

onde é qualquer matriz hermiteana definida positiva e é a transposta conjugada de Para o caso real, isso corresponde ao produto escalar dos resultados de uma escala direcionalmente diferente dos dois vetores, com fatores de escala positivos e direções ortogonais de escala. É uma versão de soma ponderada do produto escalar com pesos positivos — a menos de uma transformação ortogonal.

Espaço de Hilbert

O artigo sobre espaços de Hilbert tem vários exemplos de espaços com produto interno, nos quais a métrica induzida pelo produto interno produz um espaço métrico completo. Um exemplo de um espaço com produto interno que induz uma métrica incompleta é o espaço de funções contínuas de valores complexos e no intervalo O produto interno é

Este espaço não é completo; considere, por exemplo, para o intervalo a sequência de funções contínuas "degrau", definida por:

Esta sequência é uma sequência de Cauchy para a norma induzida pelo produto interno anterior, que não converge para uma função .

Variáveis aleatórias

Para variáveis aleatórias reais e o valor esperado do seu produto

é um produto interno. Neste caso, se e somente se (isto é, quase certamente), onde denota a probabilidade do evento. Esta definição de esperança como produto interno pode ser estendida também a vetores aleatórios.

Matrizes complexas

O produto interno para matrizes quadradas complexas do mesmo tamanho é o produto interno de Frobenius . Como o traço e a transposição são lineares e a conjugação está na segunda matriz, trata-se de um operador sesquilinear. Obtemos ainda a simetria hermiteana por:

Finalmente, como para não nula, , obtemos que o produto interno de Frobenius também é definido positivo e, portanto, é um produto interno.

Espaços vetoriais com formas

Num espaço com produto interno, ou mais geralmente num espaço vetorial com uma forma não degenerada (portanto um isomorfismo ), os vetores podem ser enviados para covectores (em coordenadas, via transposição), de modo que se pode tomar o produto interno e o produto externo de dois vetores — não simplesmente de um vetor e um covector.

Resultados básicos, terminologia e definições Propriedades da norma

Todo espaço com produto interno induz uma norma, chamada sua norma canónica, que é definida por Com esta norma, todo espaço com produto interno torna-se um espaço vetorial normado.

Assim, toda propriedade geral de espaços vetoriais normados aplica-se a espaços com produto interno. Em particular, tem-se as seguintes propriedades:

Homogeneidade absoluta para todo e (isso resulta de ).

Desigualdade triangular para Estas duas propriedades mostram que se tem de fato uma norma.

Desigualdade de Cauchy–Schwarz para todo com igualdade se e somente se e são linearmente dependentes.

Lei do paralelogramo para todo A lei do paralelogramo é uma condição necessária e suficiente para que uma norma seja definida por um produto interno.

Identidade de polarização para todo O produto interno pode ser recuperado da norma pela identidade de polarização, uma vez que sua parte imaginária é a parte real de

Desigualdade de Ptolomeu para todo A desigualdade de Ptolomeu é uma condição necessária e suficiente para que uma seminorma seja a norma definida por um produto interno.

Ortogonalidade

Ortogonalidade Dois vetores e são ditos ortogonais, frequentemente escritos se seu produto interno é zero, isto é, se Isto acontece se e somente se para todos os escalares e se e somente se a função de valor real é não negativa. (Isto é uma consequência do facto de que, se então o escalar minimiza com valor que é sempre não positivo). Para um espaço com produto interno complexo um operador linear é identicamente se e somente se para todo Isto não é verdade em geral para espaços com produto interno reais, pois é uma consequência da simetria conjugada ser distinta da simetria para produtos internos complexos. Um contraexemplo num espaço com produto interno real é uma rotação de 90° em , que leva cada vetor a um vetor ortogonal, mas não é identicamente .

Complemento ortogonal O complemento ortogonal de um subconjunto é o conjunto dos vetores que são ortogonais a todos os elementos de ; isto é, Este conjunto é sempre um subespaço vetorial fechado de e se o fecho de em é um subespaço vetorial, então

Teorema de Pitágoras Se e são ortogonais, então Isto pode ser provado expressando as normas quadráticas em termos dos produtos internos, usando a aditividade para expandir o lado direito da equação. O nome teorema de Pitágoras surge da interpretação geométrica na geometria euclidiana.

Identidade de Parseval Uma indução no teorema de Pitágoras resulta: se são dois a dois ortogonais, então

Ângulo Quando é um número real, a desigualdade de Cauchy–Schwarz implica que e portanto que é um número real. Isto permite definir o ângulo (não orientado) de dois vetores nas definições modernas de geometria euclidiana em termos de álgebra linear. Isto também é usado em análise de dados, sob o nome "similaridade de cosseno", para comparar dois vetores de dados. Além disso, se é negativo, o ângulo é maior que 90 graus. Esta propriedade é frequentemente usada em computação gráfica (por exemplo, em culling de faces traseiras) para analisar uma direção sem ter que avaliar funções trigonométricas.

Partes real e imaginária de produtos internos