Em matemática, o cálculo de Ricci constitui as regras da notação de índice e manipulação de tensores e campos tensoriais. Também é o nome moderno para o que costumava ser chamado de cálculo diferencial absoluto (a base do cálculo tensorial), desenvolvido por Gregorio Ricci-Curbastro em 1887-1896, e posteriormente popularizado em um artigo escrito com seu pupilo Tullio Levi-Civita em 1900. Jan Arnoldus Schouten desenvolveu a notação moderna e o formalismo para esta estrutura matemática, e fez contribuições com a teoria, durante suas aplicações à relatividade geral e geometria diferencial no início do século XX.
Partes simétricas e anti-simétricas
Parte simétrica do tensor Parênteses, ( ), em torno de vários índices denota a parte simetrizada do tensor. Ao simetrizar índices p usando σ para variar sobre as permutações dos números 1 a p, obtém-se uma soma sobre as permutações desses índices por , e então divide pelo número de permutações:
Por exemplo, dois índices de simetrização significam que há dois índices para permutar e somar:
enquanto para três índices de simetrização, existem três índices para somar e permutar:
A simetrização é distributiva em relação à adição;
Os índices não fazem parte da simetrização quando são:
não no mesmo nível, por exemplo;
entre parênteses e entre as barras verticais (ou seja, |⋅⋅⋅|), modificando o exemplo anterior;
Aqui os índices α e γ são simetrizados, β não.
Parte anti-simétrica ou alternada do tensor Colchetes, [ ], em torno de vários índices denota a parte anti-simetrizada do tensor. Para índices p anti-simetrizantes - a soma das permutações desses índices multiplicado pela assinatura da permutação é tomado, então dividido pelo número de permutações:
onde é o delta de Kronecker generalizado de grau 2p, com escala conforme definido abaixo.
Por exemplo, dois índices anti-simetrizantes implicam:
enquanto três índices anti-simetrizantes implicam:
como para um exemplo mais específico, se F representa o tensor eletromagnético, então a equação
representa a lei de Gauss para o magnetismo e a lei de indução de Faraday.
Como antes, a anti-simetrização é distributiva em relação à adição;
Tal como acontece com a simetrização, os índices não são anti-simetrizados quando são:
não no mesmo nível, por exemplo;
dentro dos colchetes e entre as barras verticais (ou seja, |⋅⋅⋅|), modifica o exemplo anterior;
Aqui os índices α e γ são anti-simetrizados, β não.
Soma das partes simétricas e antissimétricas Qualquer tensor pode ser escrito como a soma de suas partes simétricas e antissimétricas em dois índices:
como pode ser visto adicionando as expressões acima para e . Isso não se aplica a outros índices.
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