Em matemática, na teoria de semigrupos, um semigrupo fator de Rees (também chamado de semigrupo quociente de Rees ou apenas fator de Rees), assim chamado em referência a David Rees, é um certo tipo de semigrupo construído usando um semigrupo e um ideal do semigrupo.
Seja S um semigrupo e seja I um ideal de S. Usando S e I, pode-se construir um novo semigrupo fundindo I em um único elemento, e mantendo a identidade dos elementos de S fora de I. O novo semigrupo obtido desta forma é chamado de semigrupo fator de Rees de S módulo I e é denotado por S/I.
O conceito de semigrupo fator de Rees foi introduzido por David Rees em 1940.
Definição formal Um subconjunto A de um semigrupo S é chamado de um ideal de S se tanto SA quanto AS são subconjuntos de A. Seja I um ideal de um semigrupo S. A relação ρ em S definida por x ρ y ⇔ x = y ou ambos x e y estão em I é uma relação de equivalência em S. As classes de equivalência sob ρ são conjuntos unitários { x } em que x não pertence a I e o conjunto I. Como I é um ideal de S, a relação ρ é uma congruência em S.Lawson (1998), [ p. 60] O semigrupo quociente S/ρ é, por definição, o semigrupo fator de Rees de S módulo I. Por conveniência de notação um semigrupo S/ρ também é representado como S/I. No semigrupo fator de Rees, o produto de dois elementos de S \ I (o complementar I em relação a S) é o mesmo que o seu produto em S se tal produto encontra-se em S \ I; caso contrário, o produto é dado pelo elemento novo elemento I.
A congruência ρ em S definida acima, é chamada de congruência de Rees em S modulo I.
Exemplo Considere o semigrupo S = { a, b, c, d, e } com a operação binária definida pela seguinte tabela de Cayley: · a b c d e a a a a d d b a b c d d c a c b d d d d d d a a e d e e a a Seja I = { a, d }, que é um subconjunto de S. Como SI = { aa, ba, ca, da, ea, ad, bd, cd, dd, ed } = { a, d } ⊆ I IS = { aa, da, ab, db, ac, dc, ad, dd, ae, de } = { a, d } ⊆ I o conjunto I é um ideal de S. O semigrupo fator de Rees de S módulo I é o conjunto S/I = { b, c, e, I }, com a operação binária definida pela seguinte tabela de Cayley: · b c e I b b c I I c c b I I e e e I I I I I I I
Extensão por ideais Um semigrupo S é chamado de uma extensão por ideais de um semigrupo A por um semigrupo B se A é um ideal de S e o semigrupo fator de Rees S/A é isomorfo a B.
Alguns dos casos que foram amplamente estudadas incluem: extensões por ideais de semigrupos completamente simples, de um grupo por um semigrupo completamente 0-simples, de um semigrupo comutativo com cancelamento por um grupo com zero adicionado. Em geral, o problema de descrever todas as extensões por ideais de um semigrupo ainda está em aberto.
Referências
Categoria:Teoria de semigrupos