Em estatística, média é definida como o valor que demonstra a concentração dos dados de uma distribuição, como o ponto de equilíbrio das frequências em um histograma. Média também é interpretada como um valor significativo de uma lista de números. Os valores de uma lista de números podem ser representados por meio da escolha aleatória de um número. Se todos os números forem iguais, o número escolhido aleatoriamente será a média. Então, a média pode ser calculada por meio da combinação dos números de maneira específica e da geração de um valor significativo. Entretanto, a palavra média é usualmente usada em métodos mais sofisticados como média aritmética, mediana, moda, entre outros.
Seguindo uma definição mais informal de "média", pode-se assumir que no campo da estatística, dados possuem posições. Por exemplo, cada valor dos lançamentos de um dado possui sua posição em uma planilha eletrônica. Em estatística, média é uma medida de posição que indica um valor uniforme dos dados. Por exemplo, o conjunto possui média aritmética . Embora seja o valor médio, ele não é o valor central definido pela mediana.
História
Origem O primeiro registro da ampliação da média aritmética de 2 para n casos para realização de estimativas ocorreu no século XVI. Do século XVI em diante, a média gradualmente se tornou um método comum para reduzir erros de medidas em várias áreas. Na época, os astrônomos queriam saber o valor real de medições imprecisas com a posição de um planeta ou o diâmetro da lua. Com a média de vários valores medidos, cientistas assumiram que o número de erros era relativamente pequeno em comparação com o total de valores medidos. O método de tirar a média para reduzir os erros de observação foi principalmente desenvolvido na astronomia.
Um possível precursor da média aritmética é a mid-range (média de dois valores extremos), usada na astronomia árabe do século IX ao século XI e também na metalurgia e na navegação. Entretanto, há várias outras referências vagas sobre o uso da média aritmética. Elas não são tão claras, mas podem ter relação com a definição moderna de média. De acordo com um texto referente ao século IV:
Existem potenciais referências ainda mais antigas. Há registros de que por volta de 700 a.C., comerciantes e transportadores concordaram que o dano à carga e ao navio (sua contribuição em casos de danos no mar) deveria ser dividido igualmente entre eles. Isso deve ter sido calculado usando média, embora pareça não haver registros diretos do cálculo.
Etimologia De acordo com o Oxford English Dictionary, poucas palavras receberam uma maior investigação etimológica.
Em um primeiro uso em inglês da palavra datado do final do século XV, média significava taxas alfandegárias e era usada na região do Mediterrâneo. Em seguida, média passou a significar o custo dos danos ocorridos no mar. Inclusive, surgiu o termo regulador de média para designar a pessoa que decidia como dividir os danos entre os proprietários e os seguradores do navio e da carga. Os danos ocorridos em mar (médias particulares) eram arcados apenas pelos proprietários da carga danificada (média geral), de modo que o proprietário podia reivindicar uma contribuição proporcional de todas as partes do empreendimento marítimo. O tipo de cálculo usado para regular a média geral deu origem ao uso da média como média aritmética.
Em um segundo uso em inglês da palavra datado de 1674, média (averish) significava o resíduo ou o segundo crescimento dos campos de colheita que eram considerados apropriados para consumo pelos animais de tração (avers). A raiz da palavra average (média, em inglês) é encontrada em árabe como awar, em italiano como avaria, em francês como avarie e em holandês como averij. Não está claro em qual língua a palavra apareceu pela primeira vez.
Já em um uso antigo e diferente da palavra datado do século XI, média parecia ser um termo legal para a obrigação de um dia de trabalho para um xerife. O termo legal provavelmente anglicizado de avera foi encontrado no Domesday Book, registro antigo com informações sobre a população inglesa do século XI.
Definição informal thumb|207x207px|Exemplo de média aritmética, calculada pela soma dos elementos de uma amostra dividida pela quantidade de elementos da mesma amostra. Para o conjunto de dados {1, 2, 3, 4, 5}, a média aritmética é igual a .
Em estatística, dados possuem posições. Por exemplo, cada valor dos lançamentos de um dado possui sua posição em uma planilha eletrônica. Em estatística, média é uma medida de posição que indica um valor uniforme dos dados. Por exemplo, o conjunto possui média aritmética . Embora seja o valor médio, ele não é o valor central definido pela mediana.
Dado o rol de uma população, ou seja, todos os indivíduos, a média é representada pela letra grega Mi (.
No caso de amostras, tem-se por padrão a representação por .
Essa diferença entre população (todos) ou amostras (parte) também se aplica à variância e ao desvio padrão, conforme representações matemáticas próprias.
Definição formal thumb|200px|Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição simétrica (por exemplo, uma distribuição normal) quando alterada a dispersão dos dados. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade no espaço amostral e a linha azul representa a localização da média (azul), da mediana (amarelo) e da moda (verde) do conjunto de dados. thumb|200px|Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição assimétrica negativa quando alterada a dispersão dos dados. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade no espaço amostral, a linha azul (à esquerda) representa a média, a linha amarela (ao meio) representa a mediana e a linha verde (à direita) representa a moda do conjunto de dados. thumb|200px|Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição assimétrica positiva (por exemplo, uma distribuição qui-quadrado) quando alterada a dispersão dos dados. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade dos dados no espaço amostral, a linha azul (à direita) representa a média, a linha amarela (ao meio) representa a mediana e a linha verde (à esquerda) representa a moda do conjunto de dado thumb|200px|Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição bimodal, formada por outras duas distribuições com seus respectivos parâmetros, que transita entre distribuição assimétrica positiva, distribuição assimétrica negativa e distribuição simétrica conforme as dispersões dos dados no espaço amostral são alteradas. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade dos dados no espaço amostral, a linha azul representa a média, a linha amarela representa a mediana e a linha verde representa a moda do conjunto de dados.
Média aritmética Seja o número total de valores e cada valor, em que . Média aritmética é a soma dos valores dividido pelo número total de valores : .
Média geométrica Média geométrica é a -ésima raiz do produto de todos os valores :
Média geométrica pode ser pensada como o antilogaritmo da média aritmética dos logaritmos dos números. Por exemplo, a média geométrica de 2 e 8 é
Média harmônica Média harmônica é a recíproca da média aritmética para os valores :
Média harmônica é usada no cálculo de média de velocidade. Por exemplo, se a velocidade de ida um veículo do ponto A ao ponto B é de 60 km/h e a velocidade de volta do mesmo veículo do ponto A ao ponto B é de 40 km/h, então a velocidade média é dada por Entretanto, se o veículo tivesse viajado por metade do tempo em uma velocidade e metade do tempo em outra velocidade, a média aritmética de 50 km/h proveria a noção correta de média.
Média harmônica também é usada no cálculo da resistência equivalente em uma associação de vários resistores em paralelo. Por exemplo, se três resistores de valores R1, R2 e R3 estiverem em paralelo, então a resistência R do circuito é dada por
Observação Em relação às médias, dado uma população ou amostra com todas as observações positivas e pelo menos dois números distintos, tem-se que:
Demonstração dado o .
Média Ponderada Ver artigo principal: Média aritmética ponderadaMédia ponderada é a média aritmética com um coeficiente ponderando os valores. O valor de pode ser sempre igual ou diferente:
Exemplos
Média aritmética Uma fábrica produz 200, 100, 50, 100, 150 e 200 unidades de um produto entre janeiro e junho. Qual a produção média mensal da fábrica no semestre? Para encontrar a produção média mensal da fábrica no semestre, é preciso calcular a média ou o valor matemático da sua produção média mensal entre janeiro e junho. Se a fábrica tivesse o mesmo desempenho entre janeiro e junho, sua produção total seria unidades no semestre.
Então:
.
Isto é, a fábrica produz em média 133,3 unidades entre janeiro e junho.
Média geométrica
O aumento da taxa de crescimento de uma empresa em novembro e em dezembro foi de e , respectivamente. Qual a taxa de crescimento média mensal da empresa no período?
Embora o cálculo pareça razoável, é preciso encontrar uma mesma taxa de crescimento para o período. O crescimento total da empresa no período foi de . Sejam o crescimento total da empresa em novembro e o crescimento total da empresa em dezembro.
Então:
Isto é, a taxa de crescimento média mensal da empresa foi de cerca de no período.
Média harmônica
Um concurso que distribui anualmente um prêmio de R$ 180 teve 1 ganhador no primeiro ano e 3 ganhadores no segundo ano. Qual foi o prêmio médio dos ganhadores nos dois anos?
O número médio de ganhadores é , o que não significa que o prêmio médio dos ganhadores tenha sido nos dois anos. Para encontrar o prêmio médio dos ganhadores nos dois anos, é preciso calcular o prêmio médios dos ganhadores no primeiro ano e o prêmio médios dos ganhadores no segundo ano. Sejam o prêmio médio do ganhador no primeiro ano e o prêmio médio dos ganhadores no segundo ano.
Então:
Isto é, o prêmio médio dos ganhadores nos dois anos foi .
Em termos algébricos:
Portanto, a média harmônica do total numero de ganhadores em dois anos é .
Média ponderada
Em um grupo de pessoas, 20% delas são adultas e 80% delas são crianças. Os adultos pesam em média 75 quilos e as crianças pesam em média 45 quilos. Qual o peso médio do grupo?
Os adultos correspondem a 20% ou a 0,2 do grupo, enquanto as crianças correspondem a 80% ou a 0,8 do grupo. A média não está correta porque a média dos pesos médios dos adultos e das crianças não demonstram o peso médio do grupo. Se 20% das pessoas do grupo pesam 75 quilos, então 0,2 x 75 = 15 quilos. Se 80% das pessoas do grupo pesam 45 quilos, então 0,8 x 45 = 36 quilos.
Então:
Isto é, o peso médio do grupo é 51 quilos. Foi possível calcular a média ponderada a partir das diferentes proporções entre adultos e crianças no grupo.
Exemplos aplicados ao mercado financeiro
Taxa de retorno e CAGR A taxa de retorno é um tipo de média usada em finanças. Quando a taxa de retorno é anual, ela é chamada de taxa composta anual de crescimento (CAGR). Seja um investimento em um período de dois anos com taxa de retorno de –10% no primeiro ano e +60% no segundo ano. A taxa de retorno ou a taxa composta anual de crescimento é obtida pelo cálculo da seguinte equação .
O valor de que torna a equação verdadeira é 0,2 (equivalente a 20%), o que significa que o retorno total sobre um investimento em um período de dois anos é igual ao retorno total se houve crescimento de 20% em cada ano. Lembrando que a ordem dos anos não faz diferença (as taxas de retorno de +60% e –10% dariam os mesmos resultados se as taxas de retorno fossem de –10% e +60%).