A Hipótese de Lindelöf é uma conjectura feita pelo matemático finlandês Ernst Leonard Lindelöf () sobre a taxa de crescimento da função zeta de Riemann na linha crítica implícita na hipótese de Riemann.
Para qualquer ε > 0,
à medida que t tende para o infinito (Notação Big O). Já que ε pode ser substituído por um valor menor, podemos escrever a conjectura da seguinte forma: para qualquer positivo ε,
A função μ Se σ é real, então µ(σ) é definido como sendo o ínfimo de todos os números reais 'a''' , tais que ζ(σ + iT) = S(T a). Podemos ver que µ(σ) = 0 para s > 1, e a equação funcional da função zeta implica que µ(σ) = μ(1 − σ) − σ + 1/2. O Princípio de Phragmen–Lindelöf implica que µ é uma função convexa. Os estados μ(1/2) = 0, juntamente com as propriedades de μ implicam que µ(σ) é de 0 para σ ≥ 1/2 e 1/2 − σ para σ ≤ 1/2.
O resultado de convexidade de Lindelöf implica junto com μ(1) = 0 e µ(0) = 1/2 em 0 ≤ μ(1/2) ≤ 1/4. O limite superior foi reduzido de 1/4 a 1/6 por Hardy e Littlewood com a aplicação do método de estimativa de somas exponenciais de Weyl para a equação funcional aproximada. Desde então, o limite foi reduzido para pouco menos de 1/6 por diversos outros autores, utilizando longas provas técnicas, como a seguir: μ(1/2) ≤ μ(1/2) ≤ Autor 1/4 0.25 1/6 0.1667 163/9880.165027/1640.1647229/13920.1645120.16451119/1160.163815/920.16316/370.16217173/10670.1621435/2160.16204139/8580.1620132/2050.156153/3420.155013/840.1548
Relação com a hipótese de Riemann , mostrou que a Hipótese de Lindelöf equivale a declaração sobre os zeros da função zeta: para cada ε > 0, o número de zeros com parte real de pelo menos 1/2 + ε e a parte imaginária entre T e T + 1 é O(log(T)) T tende para o infinito. A hipótese de Riemann implica que não existem zeros em todos nessa região, e isso implica na Hipótese de Lindelöf. O número de zeros com parte imaginária entre T e T + 1 é conhecido por ser O(log(T)), de modo que a Hipótese de Lindelöf fica parecendo ser apenas um pouco mais forte do que o provado, mas, apesar disso, ele tem resistido a todas as tentativas para provar isso.
Meios de poderes (ou momentos) da função zeta A Hipótese de Lindelöf equivale a:
Para todos os números inteiros positivos k e todos os números reais positivos ε. Isto tem sido provado para k = 1 ou 2, mas o caso k = 3, parece muito mais difícil e é ainda um problema em aberto.
Acredita-se que exista uma conjectura mais precisa sobre o comportamento assintótico da integral a seguir, para algumas constantes ck,j.
Provado para k = 1 e k = 2 por Littlewood e respectivamente (a partir de um resultado de , que encontrou um termo líder).
sugeriu que o valor para o coeficiente principal, quando k é 6, e usado matriz aleatória para sugerir algumas conjecturas para os valores dos coeficientes maiores que k. Os coeficientes principais foram conjecturados para serem o produto de um fator elemental, um determinado produto sobre os números primos e o número de n por n Diagrama de Young dada pela sequência: 1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, .
Outras consequências O n-ésimo número primo é denotando por pn, e Albert Ingham mostrou um resultado, que mostra a Hipótese de Lindelöf implica para qualquer ε > 0,
se n'' é suficientemente grande. Porém, esse resultado é muito pior do que a conjectura primeiro-gap.
Referências
Categoria:Teoria analítica dos números Categoria:Conjecturas Categoria:Problemas não resolvidos da matemática