thumb|350px|right|Esquema da curvatura do espaço-tempo.
Em física, o espaçotempo curvo é o modelo matemático no qual, com a teoria da relatividade geral de Einstein, a gravidade surge naturalmente, em oposição a ser descrita como uma força fundamental no referencial euclidiano estático de Newton. Os objetos se movem ao longo de geodésicas — caminhos curvos determinados pela geometria local do espaçotempo — em vez de serem influenciados diretamente por corpos distantes. Este quadro levou a dois princípios fundamentais: a independência de coordenadas, que afirma que as leis da física são as mesmas independentemente do sistema de coordenadas usado, e o princípio da equivalência, que afirma que os efeitos da gravidade são indistinguíveis daqueles da aceleração em regiões suficientemente pequenas do espaço. Esses princípios estabeleceram as bases para uma compreensão mais profunda da gravidade através da geometria do espaçotempo, como formalizado nas equações de campo de Einstein.
Introdução As teorias de Newton assumiam que o movimento ocorre tendo como pano de fundo um referencial euclidiano rígido que se estende por todo o espaço e todo o tempo. A gravidade é mediada por uma força misteriosa, agindo instantaneamente à distância, cujas ações são independentes do espaço interveniente.O próprio Newton estava bem ciente das dificuldades inerentes a essas suposições, mas, como uma questão prática, fazer essas suposições era a única maneira de ele progredir. Em 1692, ele escreveu ao seu amigo Richard Bentley: "Que a Gravidade seja inata, inerente e essencial à Matéria, de modo que um corpo possa agir sobre outro à distância através de um Vácuo, sem a Mediação de qualquer outra coisa, por meio da qual sua Ação e Força possam ser transmitidas de um para o outro, é para mim um Absurdo tão grande que acredito que nenhum Homem que tenha nas questões Filosóficas uma Faculdade competente de pensamento possa jamais incorrer nisso." Em contraste, Einstein negou que exista qualquer referencial euclidiano de fundo que se estenda por todo o espaço. Nem existe qualquer coisa como uma força de gravitação, apenas a própria estrutura do espaçotempo.
thumb|Figura 1. Efeitos de maré. Em termos de espaçotempo, o caminho de um satélite orbitando a Terra não é ditado pelas influências distantes da Terra, da Lua e do Sol. Em vez disso, o satélite se move pelo espaço apenas em resposta às condições locais. Como o espaçotempo é localmente plano em toda parte quando considerado em uma escala suficientemente pequena, o satélite está sempre seguindo uma linha reta em seu referencial inercial local. Dizemos que o satélite sempre segue o caminho de uma geodésica. Nenhuma evidência de gravitação pode ser descoberta acompanhando os movimentos de uma única partícula.
Em qualquer análise do espaçotempo, a evidência da gravitação exige que se observe as acelerações relativas de dois corpos ou de duas partículas separadas. Na Fig. 1, duas partículas separadas, em queda livre no campo gravitacional da Terra, exibem acelerações de maré devido a inomogeneidades locais no campo gravitacional, de modo que cada partícula segue um caminho diferente através do espaçotempo. As acelerações de maré que essas partículas exibem entre si não exigem forças para sua explicação. Em vez disso, Einstein as descreveu em termos da geometria do espaçotempo, ou seja, a curvatura do espaçotempo. Essas acelerações de maré são estritamente locais. É o efeito total cumulativo de muitas manifestações locais da curvatura que resulta na aparência de uma força gravitacional agindo a longa distância da Terra.
Diferentes observadores vendo os cenários apresentados nesta figura interpretam os cenários de forma diferente, dependendo de seu conhecimento da situação. (i) Um primeiro observador, no centro de massa das partículas 2 e 3, mas sem saber da grande massa 1, conclui que existe uma força de repulsão entre as partículas no cenário A, enquanto uma força de atração existe entre as partículas no cenário B. (ii) Um segundo observador, ciente da grande massa 1, sorri da ingenuidade do primeiro observador. Este segundo observador sabe que, na realidade, as forças aparentes entre as partículas 2 e 3 representam realmente efeitos de maré resultantes de sua atração diferencial pela massa 1. (iii) Um terceiro observador, treinado em relatividade geral, sabe que não existem, de fato, forças agindo entre os três objetos. Em vez disso, todos os três objetos se movem ao longo de geodésicas no espaçotempo.
Duas proposições centrais fundamentam a relatividade geral. O primeiro conceito crucial é a independência de coordenadas: As leis da física não podem depender do sistema de coordenadas que se usa. Esta é uma grande extensão do princípio da relatividade da versão usada na relatividade restrita, que afirma que as leis da física devem ser as mesmas para todo observador que se move em referenciais não acelerados (inerciais). Na relatividade geral, usando as próprias palavras de Einstein (traduzidas), "as leis da física devem ser de tal natureza que se apliquem a sistemas de referência em qualquer tipo de movimento." Isso leva a uma questão imediata: Em referenciais acelerados, sentem-se forças que aparentemente permitiriam avaliar o próprio estado de aceleração em um sentido absoluto. Einstein resolveu esse problema através do princípio da equivalência. thumb|Figura 2. Princípio da equivalência O princípio da equivalência afirma que em qualquer região suficientemente pequena do espaço, os efeitos da gravitação são os mesmos que os da aceleração. Na Fig. 2, a pessoa A está em uma nave espacial, longe de qualquer objeto massivo, que sofre uma aceleração uniforme de g. A pessoa B está em uma caixa em repouso na Terra. Desde que a nave espacial seja suficientemente pequena para que os efeitos de maré sejam não mensuráveis (dada a sensibilidade da instrumentação atual de medição da gravidade, A e B presumivelmente deveriam ser liliputianos), não há experimentos que A e B possam realizar que lhes permitam dizer em qual ambiente estão. Uma expressão alternativa do princípio da equivalência é notar que na lei da gravitação universal de Newton, mgg e na segunda lei de Newton, não há razão a priori para que a massa gravitacional mg seja igual à massa inercial mi. O princípio da equivalência afirma que essas duas massas são idênticas.
Para ir da descrição elementar acima do espaçotempo curvo para uma descrição completa da gravitação, é necessário o cálculo tensorial e a geometria diferencial, tópicos que exigem estudo considerável. Sem essas ferramentas matemáticas, é possível escrever sobre a relatividade geral, mas não é possível demonstrar nenhuma derivação não trivial.
O que a curvatura significa O intervalo espaçotemporal s2 Em outros lugares da Wikipédia, o leitor terá sido apresentado ao conceito de "intervalo espaçotemporal" (ou "intervalo invariante") como uma "distância" invariante entre dois eventos medida por diferentes observadores.
O intervalo espaçotemporal adquire importância adicional na relatividade geral, pois a forma desse intervalo serve para caracterizar as propriedades geométricas do espaço (ou espaçotempo) no qual o intervalo foi definido. Por exemplo, em um plano euclidiano, o teorema de Pitágoras vale para triângulos retângulos desenhados nesse plano. Inversamente, se a distância entre dois pontos em uma superfície é dada pelo teorema de Pitágoras, então essa superfície é necessariamente um plano euclidiano.
Curvatura intrínseca Em superfícies curvas, o teorema de Pitágoras geralmente não vale em sua forma euclidiana comum. A curvatura intrínseca pode ser determinada inteiramente por medições feitas dentro da própria superfície, sem referência a qualquer incorporação de dimensão superior.
A curvatura intrínseca não exige que uma superfície seja incorporada em um espaço de dimensão superior. Se uma folha plana é enrolada em um cilindro ou dobrada em formas complexas de origami sem esticar, tais deformações alteram a curvatura extrínseca da folha enquanto deixam sua geometria intrínseca inalterada.
Na relatividade geral, a curvatura do espaçotempo é tratada intrinsecamente através de medições feitas inteiramente dentro do próprio espaçotempo de efeitos como o desvio geodésico e os efeitos de maré (descritos acima na Introdução).
Curvatura versus coordenadas
Em cálculos relativísticos, frequentemente se escolhem sistemas de coordenadas que simplificam os cálculos. A expressão para o teorema de Pitágoras e, portanto, para o intervalo espaçotemporal, depende tanto da geometria do espaçotempo quanto do sistema de coordenadas usado para descrevê-lo. Por exemplo, na Fig. 3, vemos para os seguintes sistemas de coordenadas:
Nos casos (a), (b) e (c), as superfícies são planas. No caso (d), a superfície é esférica.
A expressão para depende, portanto, tanto das propriedades intrínsecas da superfície quanto do sistema de coordenadas usado para descrever essa superfície. Um exame superficial de não será suficiente para determinar as características da superfície com a qual estamos lidando, pois a aparência dos coeficientes métricos por si só não determina se um espaço é intrinsecamente curvo. Coeficientes complicados podem surgir apenas da escolha das coordenadas. Quantidades matemáticas adicionais são necessárias para distinguir a curvatura genuína de artefatos de coordenadas.
Uma dessas quantidades é o símbolo de Christoffel, que descreve como as grades de coordenadas mudam de ponto a ponto. Os símbolos de Christoffel podem se tornar não nulos mesmo no espaço plano quando coordenadas curvilíneas são usadas. Portanto, eles não representam por si mesmos a curvatura intrínseca.
A curvatura intrínseca é, em vez disso, caracterizada pelo tensor de curvatura de Riemann. Em espaços planos, as componentes do tensor de curvatura se anulam mesmo quando os coeficientes métricos e os símbolos de Christoffel são complicados. Componentes não nulos do tensor de curvatura indicam curvatura genuína que não pode ser eliminada por uma mudança de coordenadas.
Planicidade local e referenciais inerciais
O espaçotempo na relatividade geral é geralmente curvo devido à gravidade. No entanto, toda região suficientemente pequena do espaçotempo se aproxima do espaço de Minkowski plano. Dentro de uma região tão pequena, as leis da física se reduzem às da relatividade restrita.
Quantidades matemáticas chamadas símbolos de Christoffel descrevem como os sistemas de coordenadas mudam de ponto a ponto. Essas quantidades podem ser interpretadas como representando efeitos gravitacionais e inerciais locais. O experimento mental de Einstein do pintor caindo ilustra que sempre se pode escolher um referencial em queda livre no qual tais efeitos locais desaparecem. Matematicamente, pode-se sempre escolher coordenadas em uma região suficientemente pequena do espaçotempo de modo que os símbolos de Christoffel se anulem em um ponto.
A curvatura do espaçotempo, no entanto, representa uma propriedade geométrica intrínseca do espaçotempo associada a efeitos de maré e desvio geodésico. Ao contrário dos símbolos de Christoffel, a curvatura geralmente não pode ser transformada localmente, mesmo por uma mudança de coordenadas. Mesmo em um referencial em queda livre onde os efeitos gravitacionais locais desaparecem, partículas em queda livre próximas ainda podem acelerar umas em relação às outras devido à curvatura do espaçotempo.
Assim, o princípio da equivalência afirma que a gravidade pode sempre ser localmente transformada em um referencial em queda livre suficientemente pequeno, enquanto a curvatura do espaçotempo permanece como a propriedade geométrica subjacente do espaçotempo.
Gravitação newtoniana e dilatação do tempo gravitacional
thumb|Figura 4. Argumento de Einstein sugerindo o desvio para o vermelho gravitacional