direita|miniaturadaimagem|400x400px| Acima: Um gráfico de uma série de 100 números aleatórios ocultando uma função seno. Abaixo: Seu correlograma plota a função de autocorrelação (FAC) da série no eixo y para cada defasagem (lag) no eixo x. Os picos ocorrem nas defasagens em que a série é altamente correlacionada consigo mesma. Picos à direita do pico inicial na defasagem 0 indicam periodicidade na série e ajudam a estimar o período da função seno oculta. miniaturadaimagem|400x400px| Comparação visual de convolução, correlação cruzada e autocorrelação. Para as operações envolvendo a função , e assumindo que a altura de seja 1,0, o valor do resultado em 5 pontos diferentes é indicado pela área sombreada abaixo de cada ponto. Além disso, a simetria de é a razão pela qual e são idênticos neste exemplo. Autocorrelação, às vezes conhecida como correlação serial no caso de tempo discreto, mede a correlação de um sinal com uma cópia atrasada de si mesmo. Essencialmente, ela quantifica a similaridade entre observações de uma variável aleatória em diferentes pontos de seu domínio (comumente, o tempo). A análise de autocorrelação é uma ferramenta matemática para identificar padrões repetitivos ou periodicidades ocultas dentro de um sinal obscurecido por ruído (Processamento de Sinais). A autocorrelação é amplamente utilizada em processamento de sinais, domínio do tempo e análise de séries temporais para compreender o comportamento de dados ao longo do tempo.

Diferentes áreas de estudo definem a autocorrelação de maneiras distintas, e nem todas essas definições são equivalentes. Em algumas áreas, o termo é usado como sinônimo de autocovariância .

Vários modelos de séries temporais incorporam a autocorrelação, como processos de raiz unitária, processos estacionários em torno de uma tendência, processos autorregressivos e processos de médias móveis.

Autocorrelação de processos estocásticos Em estatística, a autocorrelação de um processo aleatório real ou complexo é a correlação de Pearson entre os valores do processo em diferentes momentos, em função dos dois instantes ou da defasagem temporal. Seja um processo aleatório ao longo do tempo e a variável aleatória no tempo . ( pode ser um inteiro para um processo em tempo discreto ou um número real para um processo em tempo contínuo.) Então, a definição da função de autocorrelação entre os instantes e é: Kun Il Park, Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications, Springer, 2018, onde é o operador valor esperado e a barra representa a conjugação complexa. Note que a esperança pode não estar bem definida.

Suponha que o processo tenha média e variância no tempo , para cada . Subtrair a média antes da multiplicação resulta na função de autocovariância entre os instantes e : Note que esta expressão não é bem definida para todas as séries temporais ou processos, pois a média pode não existir, ou a variância pode ser zero (para um processo constante) ou infinita (para processos com distribuições que carecem de momentos bem comportados, como certos tipos de lei de potência).

Definição de processo estocástico estacionário em sentido amplo Se for um processo estacionário no sentido amplo, então a média e a variância são independentes do tempo e, além disso, a função de autocovariância depende apenas da defasagem entre e : a autocovariância depende unicamente da distância temporal entre o par de valores, mas não de sua posição no tempo. Isso implica ainda que a autocovariância e a autocorrelação podem ser expressas como uma função da defasagem temporal, e que esta seria uma função par da defasagem . Isso resulta nas formas mais conhecidas para a função de autocorrelação: e a função de autocovariância :Em particular, observe que

Normalização It is common practice in some disciplines (e.g. statistics and time series analysis) to normalize the autocovariance function to get a time-dependent Pearson correlation coefficient. However, in other disciplines (e.g. engineering) the normalization is usually dropped and the terms "autocorrelation" and "autocovariance" are used interchangeably.

A definição do coeficiente de autocorrelação de um processo estocástico é:

Se a função está bem definida, seu valor deve estar dentro do intervalo , sendo 1 indicativo de correlação perfeita e −1 de anticorrelacão perfeita.

Para um processo estacionário em sentido amplo (WSS, do inglês Wide-Sense Stationary Process), a definição é:

A normalização é importante tanto porque a interpretação da autocorrelação como uma correlação fornece uma medida adimensional da força da dependência estatística, quanto porque a normalização tem um efeito sobre as propriedades estatísticas das autocorrelações estimadas.

Propriedades

Propriedade de simetria O fato de a função de autocorrelação é uma função par que pode ser declarada como respectivamente para um processo WSS:

Máximo em zero Para um processo WSS: Observe que É sempre real.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz A desigualdade de Cauchy-Schwarz, desigualdade para processos estocásticos:

Autocorrelação do ruído branco A autocorrelação de um sinal de ruído branco de tempo contínuo terá um pico acentuado (representado por uma função delta de Dirac ) em e será exatamente para todos os outros .

Teorema de Wiener-Khinchin O teorema de Wiener-Khinchin relaciona a função de autocorrelação com a densidade espectral de potência por meio da transformada de Fourier :

Para funções de valor real, a função de autocorrelação simétrica possui uma transformada simétrica real, portanto o teorema de Wiener-Khinchin pode ser reescrito apenas em termos de cossenos reais:

Autocorrelação de vetores aleatórios A matriz de autocorrelação (potencialmente dependente do tempo), também chamada de segundo momento, de um vetor aleatório (potencialmente dependente do tempo) é um matriz contendo como elementos as autocorrelações de todos os pares de elementos do vetor aleatório . A matriz de autocorrelação é utilizada em diversos algoritmos de processamento digital de sinais.

Para um vetor aleatório contendo elementos aleatórios cujo valor esperado e variância existem, a matriz de autocorrelação é definida por Papoulis, Athanasius, Probability, Random variables and Stochastic processes, McGraw-Hill, 1991

onde denota a transposição do vetor.

é uma matriz de dimensões :

Por exemplo, se é um vetor aleatório, então é um matriz cuja -ésima entrada é .

Se é um vetor aleatório complexo, a matriz de autocorrelação é definida por

Aqui denota a transposta hermitiana .

Propriedades da matriz de autocorrelação

A matriz de autocorrelação é uma matriz hermitiana para vetores aleatórios complexos e uma matriz simétrica para vetores aleatórios reais. A matriz de autocorrelação é uma matriz semidefinida positiva, ou seja para um vetor aleatório real e, respectivamente, no caso de um vetor aleatório complexo. Todos os autovalores da matriz de autocorrelação são reais e não negativos. A matriz de autocovariância está relacionada à matriz de autocorrelação da seguinte forma: Respectivamente, para vetores aleatórios complexos:

Autocorrelação de sinais determinísticos Em processamento de sinais, a definição acima é frequentemente usada sem a normalização, ou seja, sem subtrair a média e dividir pela variância. Quando a função de autocorrelação é normalizada pela média e pela variância, às vezes é chamada de coeficiente de autocorrelação ou função de autocovariância.

Autocorrelação de sinal de tempo contínuo Dado um sinal , a autocorrelação contínua é definida mais frequentemente como a integral de correlação cruzada contínua de consigo mesmo, com atraso . onde representa o conjugado complexo de . Observe que o parâmetro , na integral, é uma variável fictícia e só é necessária para calcular a integral. Não possui um significado específico.

Autocorrelação de sinais de tempo discreto A autocorrelação discreta com atraso para um sinal de tempo discreto éAs definições acima funcionam para sinais que são de quadrado integrável ou de quadrado somável, isto é, de energia finita. Sinais que "duram para sempre" são tratados, em vez disso, como processos aleatórios, caso em que são necessárias definições diferentes, baseadas em valores esperados. Para processos aleatórios estacionários no sentido amplo, as autocorrelações são definidas como:

Para processos que não são estacionários, estas também serão funções de , ou .

Para processos que também são ergódicos, a esperança pode ser substituída pelo limite de uma média temporal. A autocorrelação de um processo ergódico é às vezes definida como ou equiparada a

Essas definições têm a vantagem de fornecer resultados sensatos e bem definidos com um único parâmetro para funções periódicas, mesmo quando essas funções não são a saída de processos ergódicos estacionários.

Alternativamente, sinais que duram indefinidamente podem ser tratados por meio de uma análise de função de autocorrelação de curto prazo, utilizando integrais de tempo finito. (Veja transformada de Fourier de curto prazo para um processo relacionado.)

Definição de sinais periódicos Se é uma função periódica contínua de período , a integração de para é substituída pela integração em qualquer intervalo de comprimento :

que é equivalente a

Propriedades A seguir, descreveremos apenas as propriedades das autocorrelações unidimensionais, uma vez que a maioria das propriedades pode ser facilmente transferida do caso unidimensional para os casos multidimensionais. Essas propriedades são válidas para processos estacionários em sentido amplo . {

Uma propriedade fundamental da autocorrelação é a simetria, , que é fácil de demonstrar a partir da definição. No caso contínuo, a autocorrelação é uma função par quando for uma função real, e a autocorrelação é uma função hermitiana quando for uma função complexa. A função de autocorrelação contínua atinge seu pico na origem, onde assume um valor real, isto é, para qualquer atraso , . Esta é uma consequência da desigualdade de rearranjo. O mesmo resultado é válido no caso discreto. A autocorrelação de uma função periódica é, ela própria, periódica com o mesmo período. A autocorrelação da soma de duas funções completamente não correlacionadas (a correlação cruzada é zero para todo ) é a soma das autocorrelações de cada função separadamente. Como a autocorrelação é um tipo específico de correlação cruzada, ela mantém todas as propriedades da correlação cruzada. Ao utilizar o símbolo para representar a convolução e sendo uma função que manipula a função e é definida como , a definição de pode ser escrita como:

Autocorrelação multidimensional A autocorrelação multidimensional é definida de forma semelhante. Por exemplo, em três dimensões, a autocorrelação de um sinal discreto que pode ser somado ao quadrado seria

Quando os valores médios são subtraídos dos sinais antes de calcular uma função de autocorrelação, a função resultante é geralmente chamada de função de autocovariância.

Computação eficiente Para dados expressos como uma sequência discreta, frequentemente é necessário calcular a autocorrelação com alta eficiência computacional. Um método de força bruta baseado na definição de processamento de sinais pode ser usado quando o tamanho do sinal é pequeno. Por exemplo, para calcular a autocorrelação da sequência de sinal real (isto é, , e para todos os outros valores de ) manualmente, reconhecemos primeiro que a definição recém-apresentada é a mesma que a multiplicação "usual", mas com deslocamentos para a direita, onde cada adição vertical fornece a autocorrelação para valores de defasagem específicos: