Derivada fracionária de Riemann-Liouville é uma das definições para derivada fracionária e é o operador inverso da Integral Fracionária de Riemann-Liouville. Algumas outras definições para derivada fracionária: Derivada Fracionária de Grünwald-Letnikov, derivada de Caputo, Riez e outras. RODRIGUES, F. G. and OLIVEIRA, E.C. de. Introdução às técnicas do cálculo fracionário para estudar modelos da física matemática. Rev. Bras. Ensino Fís. [online]. 2015, vol.37, n.3, pp.3305-1-3305-12. ISSN 1806-1117. http://dx.doi.org/10.1590/S1806-11173731842
Definição Definimos a derivada fracionária de Riemann-Liouville (), de ordem , com como R. F. Camargo and E. C. de Oliveira, Cálculo Fracionário, Editora Livraria da Física, São Paulo, Brasil, 2015.
em que é a Integral Fracionária segundo Riemann-Liouville e é a derivada do cálculo clássico de ordem inteira .
Nessa definição, a derivada de ordem arbitrária equivale à derivada de ordem inteira de uma integral de ordem arbitrária.
Exemplos e consequências
Exemplo 1 Caso , , a derivada arbitrária de ordem é dada por:
em que é a Função gama.
Exemplo 1.1 Calculemos utilizando o exemplo anterior.
pois .
Exemplo 1.2 Calculemos pelo exemplo anterior.
Exemplo 1.3
Calculemos .
Conclusão 1 Pelos dois exemplos anteriores concluímos que
Exemplo 1.4 Calculemos utilizando o exemplo anterior.
Exemplo 1.5 Calculemos pelo exemplo anterior.
Exemplo 1.6 Calculemos pelo exemplo anterior.
Conclusão 2 Pelos dois exemplos anteriores concluímos que
Exemplo 2 Seja , temos:
Nota importante Observe que neste exemplo quando não-inteiro a derivada de Riemann-Liouville é diferente de zero. Entretanto observe que para como e a [derivada de Riemann-Liouville resulta em zero, i.e., recupera a derivada de uma constante do cálculo clássico.
Em particular, tomando ,
Temos que a derivada de ordem não-inteira de Riemann-Liouville de uma constante não é zero.
Não localidade
Há uma diferença importantíssima entre o operador diferencial de ordem inteira e o operador diferencial fracionário de Riemann-Liouville, o primeiro é um operador local e o segundo, não Kai Diethelm, The Analysus of Fractional Differential Equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Alemanhã, 2010..
Aplicação: Abel e a curva tautocrônica
Uma das soluções para Curva tautocrônica foi proposta por Niels Henrik Abel, em 1823, que é considerada a primeira aplicação do cálculo fracionário e baseia-se exatamente na derivada fracionária de Riemann-Liouville de ordem Camargo, R. F.,"Cálculo fracionário e aplicações", http://libdigi.unicamp.br/document/?code=000439359 .
Categoria:Derivadas