thumb|233x233px|Construção do nó figura oito miniaturadaimagem|207x207px|Nó figura oito com extremidades unidas. Na teoria dos nós, um nó figura oito (também chamado de nó Listing) é o único nó com quatro cruzamentos. Este é o menor número possível de cruzamentos, exceto para o nó trivial e o nó de trevo. O nó figura oito é um nó primo.
Origem do nome O nome é dado porque amarrando um nó figura oito em uma corda e depois unindo as extremidades, da maneira mais natural, dá um modelo do nó matemático.
Descrição Uma simples representação paramétrica do nó figura oito é com o conjunto de todos os pontos (x,y,z) onde:
para t variando sobre números reais, consulte a representação visual 2D no canto inferior direito.
O nó figura oito é um nó primo, alternando e racional, com um valor associado de 5/2, e também é um nó quiral e nó de fibra. Isto segue-se a partir de outras, menos simples, (mas muito interessante) representações do nó:
(1) Ele é uma trança fechada homogêneaUma trança é chamada homogênea se todo gerador ocorrer sempre com sinal positivo ou sempre com sinal negativo (nomeadamente, o encerramento da terceira seqüência da trança σ1σ2−1σ1σ2−1), e o teorema de João Stallings mostra que qualquer trança fechada homogênea é um nó fibra.
(2) É o enlaço (0,0,0,0) de um ponto crítico isolado de um polinômio mapa F: R4→R2, então (de acordo com o teorema de John Milnor) o mapa de Milnor de F é, na verdade, um nó fibra. Bernard Perron encontrou o primeiro F para esse nó, ou seja,
onde
Propriedades matemáticas O nó figura oito tem desempenhado um papel importante historicamente (e continua a fazê-lo) na teoria do coletor tridimensional. Em algum momento em meados da década de 1970, William Thurston , mostrou que o nó figura oito era hiperbólico, pela decomposição de seu complemento em dois tetraédros hiperbólicos ideais. (Robert Riley e Troels Jørgensen, trabalhando de forma independente, havia mostrado que o nó figura oito era hiperbólico por outros meios.) Esta construção, nova na época, levou-o a muitos resultados e métodos poderosos. Por exemplo, ele foi capaz de mostrar que todas as cirurgias Dehn, exceto dez, no nó figura oito resultaram em três dimensões não-Haken, não-Seifert-fibra irredutíveis; estes foram os primeiros exemplos. Muitos mais foram descobertos, generalizando a construção Thurston para outros nós e enlaces.
O nó figura oito também é nó hiperbólico cujo complemento tem o menor volume possível, 2.02988... de acordo com o trabalho de Chun Cao e Robert Meyerhoff. A partir desta perspectiva, o nó figura oito pode ser considerado o nó hiperbólico mais simples. O nó figura oito possui complemento de duplo-recobrimento, que tem o menor volume entre os não-hiperbólico compacto tridimensionais.
O nó figura oito e o nó (-2,3,7) são apenas os dois nós hiperbólicos conhecidos por ter mais de 6 cirurgias excepcionais (Dehn cirurgia) resultando em um não-hiperbólico coletor tridimensional; eles têm 10 e 7, respectivamente. O teorema de Lackenby e Meyerhoff, cuja prova se baseia na conjectura de geometrização e com a assistência de computador, considera-se que 10 é o maior número possível de cirurgias excepcional de qualquer nó hiperbólico. No entanto, não se sabe atualmente se o nó de oito é o único que atinge o limite de 10. É bem conhecida a conjectura de que o dependente (exceto para os dois nós mencionados) é o 6.
Constantes O polinômio de Alexander do nó figura oito é:
o polinômio Conway é:
e o polinômio de Jones é:
A simetria entre e no polinômio de Jones reflete o fato de que o nó figura oito é aquiral.
Ver também Nó trivial Nó de trevo Hebesfenorotunda triangular Enlace
Notas
Referências
Ler mais Ian Agol, Limites excepcionais, Dehn de enchimento, Geometria E Topologia 4 (2000), 431–449. Chun Cao e Robert Meyerhoff, A orientação mais agudo hiperbólico de 3 variedades de volume mínimo, Inventiones Mathematicae, 146 (2001), não. 3, 451–478. Marc Lackenby, Word hiperbólica Dehn cirurgia, Inventiones Mathematicae 140 (2000), não. 2, 243–282. Marc Lackenby e Robert Meyerhoff, O número máximo de excepcional Dehn cirurgias, arXiv:0808.1176 Robion Kirby, Problemas na baixa-dimensional topologia, (ver problema 1.77, devido a Cameron Gordon, por excepcional pistas) William Thurston, a Geometria e A Topologia de Três Variedades, da Universidade de Princeton, anotações de aula (1978-1981).
Categoria:Topologia (matemática) Categoria:Teoria dos nós