A hipótese do continuum é uma conjectura proposta por Georg Cantor. Esta conjectura consiste no seguinte:
Aqui mais elementos e menos elementos tem um sentido muito preciso (ver número cardinal). Esta hipótese foi o número um dos 23 Problemas de Hilbert apresentados na conferência do Congresso Internacional de Matemática de 1900, o que levou a que fosse estudada profundamente durante o século XX.
Nem verdadeira nem falsa Cantor acreditava que a conjectura era verdadeira. No entanto: em 1938Gödel, K., Collected Works: Oxford University Press: New York. Editor-in-chief: Solomon Feferman. Volume II: Publications 1938–1974 ISBN 9780195039726 / Paperback:ISBN 9780195147216, p. 1--101., Kurt Gödel demonstrou que a negação da hipótese do continuum não poderia ser provada a partir dos axiomas de Zermelo-Fraenkel mais escolha, se eles são consistentes. em 1963, Paul Cohen demonstrou que a hipótese do continuum também não poderia ser provada a partir dos mesmos axiomas, se eles são consistentes.
Deste modo a hipótese do continuum é independente dos axiomas de Zermelo-Fraenkel. Esta independência leva alguns matemáticos a considerarem que os axiomas de Zermelo-Fraenkel não são os mais suficientes para resolver problemas significativos da teoria de conjuntos e que deveriam ser considerados axiomas adicionais para tornar esta hipótese verdadeira ou falsa. Em particular, Gödel, apesar de ter demonstrado a sua consistência, considerava a possibilidade de que novos axiomas permitissem refutar a Hipótese do Continuum Gödel, K., ibid., p. 264..
Hipótese do Continuum generalizada Aleph (א) é uma letra usada para representar cardinais infinitos. A cardinalidade dos conjunto dos números inteiros é , o cardinal seguinte é , etc. Usando os números cardinais א, a hipótese do Continuum pode ser escrita como:
A generalização desta hipótese (que não pode ser provada a partir dela) é que para qualquer ordinal :
Um cuidado deve ser observado na fórmula acima: o tratamento de α + 1 usa aritmética ordinal enquanto que o tratamento de usa aritmética cardinal; todo número ordinal é, por definição, um número cardinal, mas a recíproca não é verdadeira.
Cardinalidade do contínuo
Em ZFC, a teoria dos conjuntos com os axiomas de Zermelo-Fraenkel mais o axioma da escolha, a cardinalidade do contínuo está muito indeterminada. O primeiro resultado negativo foi demonstrado por König, sobre os valores que o contínuo não pode tomar, pois o denominado teorema de König mostra:
O mesmo acontece para outros cardinais de cofinalidade :
Seja o enunciado " é consistente". Como enunciado acima, Gödel demonstrou:
Usando forçamento (forcing) os seguintes resultados podem ser demonstrados:
para qualquer . De maneira mais geral, o contínuo pode ser qualquer cardinal regular não enumerável.KUNEN (1980), p. 55 e 281. Por exemplo:
Se denominarmos WI o enunciado "existe um cardinal fracamente inacessível", então valeIbid.:
Referências
Bibliografia
Hipotese do continuum Categoria:Problemas de Hilbert Categoria:Infinito Categoria:Cardinalidade