O cálculo lógico, ou derivação lógica, é um algoritmo ou sistema lógico que permite inferir ou deduzir um enunciado verdadeiro a partir de outro ou outros que se têm como validamente verdadeiros.
A inferência ou dedução é uma operação lógica que consiste em obter um enunciado como -conclusão- a partir de outro(s) -premissa(s)- mediante o aplicativo de regras de inferência.
Dizemos que alguém infere -ou deduz- "T" de "R" se aceita que se "R" tem valor verdade V, então, necessariamente, "T" tem valor verdade V.
Em nossa tarefa diária, utilizamos constantemente o raciocínio dedutivo; partimos de enunciados empíricos -supostamente verdadeiros e válidos- para concluir em outro enunciado que se deriva daqueles.
A lógica matemática, como ciência formal, se ocupa de analisar e sistematizar as regras que permitem a transformação de uns enunciados -premissas- em outras -conclusões- com objetivo de converter as operações dedutivas num cálculo rigoroso e eficaz.
Ao aplicar as regras deste cálculo lógico aos enunciados que formam um argumento, previa a simbolização adequada dos enunciados em fórmulas ou Expressões bem formadas (EBF) construímos um modelo dentro de um sistema dedutivo que, referido à linguagem ordinária, chamamos de Cálculo de dedução natural.Transformando os enunciados linguísticos em
A representação gráfica dos símbolos (constantes lógicas) não está normalizada, o que leva às vezes a certas dificuldades de interpretação.
Sistematização de um cálculo Regras de formação de fórmulas I.- Uma letra enunciativa (com ou sem subíndice) é uma EBF (Expressão Bem Formada - em inglês wff ou seja «well- formed formula» que significa «fórmula bem formada»).
II.- Se A é uma fórmula, ¬ A também o é.
III.- Se A é uma EBF e B também, (A /\ B); (A \/ B); (A → B); (A ↔ B) também o são.
IV.- Nenhuma expressão é uma fórmula do Cálculo senão em virtude de I, II, III.
Nota: A, B,... com maiúsculas estão utilizadas como metalinguagem no que cada variável expressa qualquer proposição, atômica ou molecular.
Nota: Para a definição como função lógica de ¬, /\, \/, →, e ↔, se veja Tabela de valores para valer
Regras de transformação
R.T.1: Dada uma tese EBF do cálculo, na que aparecem variáveis de enunciados, o resultado de substituir uma, algumas ou todas essas variáveis por expressões bem formadas (EBF) do cálculo, será também uma tese EBF do cálculo. E isso com uma única restrição, muito importantíssima: a cada variável tem de ser substituída sempre que aparece e sempre pelo mesmo substituto.
Vejamos o exemplo: 1(
) ∨
s {\diplaystyle \left[\left(p\land q\right)\lor r\right]\rightarrow t\lor s}Regra de Transformação 2
B {\displaystyle A\lor r\rightarrow } onde
(
) {\diplaysyle A=\left(p\land q\right)}
e onde
( t
s ) {\displaystyle B=\left(t\lor s\right)} 3B {\displaystyle C\rightarrow } onde
r {\displaystyle C=A\lo r} Ou vice-versa 1Regra de Transformação 2
B {\displaystyle A\lor r\rightarrow } onde
{\displaystyle A\lor r=C} 3(
) ∨
s {\diplaystyle \left[\left(p\land q\right)\lor r\right]\rightarrow t\lor s} onde (
)
= {\diplaysyle (p\land q)=A}
e onde ( t
s )
{\displaystyle (t\lor s)=B} Esta regra recebe o nome de regra de substituição
R.T.2: Se X é uma tese EBF do sistema Y o é também X --> Y, então E é uma tese EBF do sistema.
Esta regra recebe o nome de regra de separação
Sobre a base destas duas regras, sempre poderemos reduzir um argumento qualquer à forma:
o que constitui um esquema de inferência no que da verdade das premissas A, B, N e seu produto, podemos obter a conclusão E.
Conceito de modelo Quando num Cálculo C, se estabelece uma "correspondência" de cada símbolo com elementos determinados individuais distinguíveis entre si, de um Universo L, real (tal universo L não é um conjunto vazio, pelas mesmas condições que temos estabelecido), ENTÃO se diz que L é um MODELO de C.
A linguagem natural como modelo de um cálculo lógico Naturalmente o cálculo lógico é útil porque pode ter aplicações.
Mas em que consiste ou como se fazem tais aplicações?
Para o cálculo de enunciados podemos considerar que a linguagem natural é um modelo de C se o podemos submeter, isto é, lhe aplicar uma correspondência em C. Este processo é o que se chama formalização da linguagem.
A linguagem científica precisa "formalizar a linguagem" a fim de evitar ambiguidades nas expressões e nos conteúdos semânticos das palavras.
Quando é possível se chega a uma formalização completamente submetida a regras previamente estabelecidas, como se pretende neste caso, e os elementos que constituem as Expressões bem formadas (EBF)s da linguagem natural se podem substituir por variáveis sem significado, sem conteúdo semântico algum porque realizariam a mesma função que qualquer expressão da língua que cumpra a função sintáctica da expressão. Então podemos proceder como num cálculo.
Não é sempre possível,porém seria a linguagem ideal da ciência, porque evitaria a necessidade de "interpretação".Como chegaram a pretender os Não teria mais que substituir variáveis por variáveis linguísticas e constantes por suas expressões linguísticas formalizadas.
É o que se pretende nesta aplicação: submeter as expressões da linguagem natural a umas variáveis simbólicas mediante umas regras de simbolização:
Regras de simbolização Regra I.
A cada um dos enunciados simples da linguagem natural se substituirá por variáveis proposicionais simbolizadas por letras minúsculas: p, q, r, s, t,.....
Regra II.
As expressões da linguagem natural tais como "não", "não é verdadeiro", "não é o caso que" "é falso", "é impossível" e todas aquelas que sejam equivalentes, se substituirão pelo símbolo de negação lógica: ¬
Chove: p; Não chove: ¬ p
Regra III.
As expressões da linguagem natural tais como "e", "nem", "mas", "que", e todas as que sejam equivalentes, se substituem pelo símbolo de conjunção lógica: ∧
Chove: p; Faz frio: q; Chove e faz frio: p ∧ q;
Regra IV.
As expressões da linguagem natural tais como "ou", "ou", "bem", "já", e seus equivalentes, se substituem pelo símbolo de disjunção lógica: ∨
Chove: p; Faz frio: q; Ou chove ou faz frio: p ∨ q
Regra V.
As expressões naturais tais como "se.... então", "depois...", "portanto", "por conseguinte", "com a condição que...", "infere-se", "se deduz" e seus equivalentes substituir-se-ão pelo símbolo de envolvimento lógico ou condicional material: →
Chove: p; Faz frio: q; Se chove então faz frio: p → q
Regra VI.
As expressões da linguagem natural tais como "...se e somente se...", "...equivale a...", "...é igual a...", "vale por...", "...é o mesmo que...", e seus equivalentes substituir-se-ão pelo símbolo bicondicional: ↔
Chove: p; Faz frio: q; Chove se e somente se faz frio: p ↔ q
Uso de parêntese:
1.- Não se utiliza parêntese naqueles casos em que os conectores afetam a enunciados simples ou atômicos.
2.- Utiliza-se parêntese quando o conector afeta a toda uma conjunção, disjunção, condicional ou bicondicional.
3.- Utiliza-se o parêntese nas expressões conjuntivas e disjuntivas precedidas ou seguidas de um condicional ou bicondicional.
4.- Utiliza-se o parêntese nas expressões que nos interesse precisar a dominância do conector, ou bem porque os conectores possuam a mesma dominância -como no caso da conjunção e do disjunção que são idempotentes- ou bem porque o sentido da expressão exige a alteração da dominância das conectivas fortes -o condicional e o bicondicional que são as conectivas fortes.
Cadeia dedutiva É uma sequência finita de enunciados dos quais um, a conclusão, se segue necessariamente dos anteriores. A cada enunciado que faz parte de uma determinada corrente dedutiva constitui uma linha de derivação.
- As diferentes linhas de derivação se colocarão uma embaixo de outra numeradas correlativamente a partir do um.
- As linhas correspondentes às premissas iniciais irão fornecidas com um hífen que precederá ao número que tenham alocado.
- Se a linha corresponde a uma fórmula inferida, se indicará a sua direita a regra aplicada e as premissas ou as linhas às que se aplicou a regra. Nº linhaEBFRegraLinhas -1 Premisa -2 Premisa &EBF Regra S linha €, 2 $EBFRegra R linha 1n-2EBFRegra X linhas 1, $n-1EBFRegra T linhas 2, (n-2)n EBFRegra Ou linhas &, (n-1)FechamentoConclusão
De que maneira pode se obter a conclusão? a) A conclusão pode obter-se "diretamente" aplicando regras de inferência sobre as premissas iniciais.
b) Quando no desenvolvimento da derivação é necessário utilizar premissas adicionais (supostos não contemplados nas premissas dadas), dizemos que a derivação é "subordinada", isto é, a obtenção da conclusão se subordina à utilização de tais supostos.
c) Em caso que a conclusão não possa obter pelos métodos já revisados, recorreremos à derivação "indireta" ou de "redução ao absurdo".
Observações técnicas
- As linhas de derivação que introduzem provisionalmente supostos não contemplados nas premissas iniciais, deverão levar um sinal em esquadra olhando para abaixo. O significado do sinal é: "suponhamos pelo momento..." Linha n┌ X Significa que X é um suposto provisório não contemplado nas premisas.Linha n+1 │ Linha não utilizável fosse do suposto.Linhas │ Linha não utilizável fosse do suposto.linha n+a E Significa o fechamento do suposto e seu cancelanción - Os supostos provisórios deverão ser cancelados dantes de estabelecer a conclusão. Um suposto provisório fica cancelado quando, numa linha posterior de dita derivação, se obtém uma fórmula tal que permite a dedução imediata de outra fórmula que é independente do referido suposto. A cancelamento de um suposto expressa-se fechando a esquadra.
- A redução ao absurdo consiste em supor como premissa provisório a negação da fórmula que se pretende demonstrar e obter, mediante este suposto, uma contradição. A consequência lógica será a negação do suposto, isto é, a afirmação da conclusão desejada.
- Todo suposto provisório ou as fórmulas dele derivadas incluídas dentro das esquadras não poderão utilizar após a cancelamento do suposto como elementos de novas inferências.
Regras do cálculo de dedução natural. Cálculo proposicional Neste cálculo a proposição lógica é considerada como um tudo em sua condição de poder ser V, verdadeira, ou F, falsa.
Distinguem-se as regras primitivas e as derivadas. As derivadas são produto das primitivas, mas facilitam e reduzem os passos da dedução. Assim mesmo as de substituição significam que uma expressão pode ser substituída diretamente por seu equivalente, às vezes como definição.
Regras primitivas +Exemplo de cálculo proposicionalSe dois gases têm a mesma temperatura então suas moléculas têm a mesma média de energia cinética.
Volumes iguais de dois gases têm o mesmo número de moléculas.
As pressões de dois gases são iguais se é o mesmo seu número de moléculas e suas energias cinéticas são iguais.
Portanto se dois gases têm a mesma temperatura e o mesmo volume, têm a mesma pressão.
Simbolización proposicional
Para dois gases:
t: Ter a mesma temperatura.
c: Ter as moléculas a mesma energia cinética.
v: Ter volumes iguais.
m: Ter igual número de moléculas.
p: Ter pressões iguais.
Esquema de inferência, ou argumento
t-->c /\ v-->m /\ (m/\c)-->p, |- (t/\v)-->p
Cálculo de Dedução
- 1 t--> c
- 2 v --> m
- 3 (m /\ c) --> p
┌ 4 t /\ v Suposto
│ 5 t E.C.4
│ 6 v E.C.4
│ 7 c M.P.1,5
│ 8 m M.P.2,6
│ 9 m /\ c I.C.7,8
│ 10 c /\ m C.C.9
11 p M.P.3-9
___________ Fechamento suposto
12 (t /\ v) --> p I.I.4-10 As regras primitivas são as seguintes:
Introdução da negação, demonstração indireta ou absurdo I.N. ┌linha (n)ASuposto provisório │ -Linhas derivadas provisórias │ -não utilizáveis fosse do suposto linha (n+a) B /\ ¬ B Regra I.C, linha s, r_________ Linha de fechamentoLinha (n+a)+1¬ A Regra I.N. linhas (n - n+a+1)Conclusão Eliminação da negação linha nA Fórmula da cadeia linha n+a ¬A Fórmula da cadeia_______Linha de fechamento CRegra E.N.,linhas n, n+aConclusão