thumb|O popular quebra-cabeça do cubo de Rubik inventado em 1974 por Ernő Rubik tem sido usado como uma ilustração de grupos de permutação. Ver o grupo do cubo de Rubik

Na álgebra abstrata, a teoria dos grupos estuda as estruturas algébricas conhecidas como grupos. O conceito de grupo é central para a álgebra abstrata: outras estruturas algébricas bem conhecidas, como anéis, campos e espaços vetoriais, podem ser vistas como grupos dotados de operações e axiomas adicionais. Os grupos são recorrentes em toda a matemática, e os métodos da teoria dos grupos influenciaram muitas partes da álgebra. Grupos algébricos lineares e grupos de Lie são dois ramos da teoria de grupos que experimentaram avanços e se tornaram áreas temáticas por direito próprio.

Vários sistemas físicos, como cristais e o átomo de hidrogênio, e três das quatro forças fundamentais conhecidas no universo, podem ser modelados por grupos de simetria. Assim, a teoria dos grupos e a teoria de representação estreitamente relacionada têm muitas aplicações importantes na física, química e ciência dos materiais. A teoria de grupo também é central para a criptografia de chave pública.

O início da história da teoria dos grupos data do século XIX. Uma das conquistas matemáticas mais importantes do século XX foi o esforço colaborativo, ocupando mais de dez mil páginas de periódicos e publicados principalmente entre 1960 e 2004, que culminou em uma completa classificação dos grupos simples finitos.

Principais classes de grupos

A variedade de grupos sendo considerada expandiu-se gradualmente de grupos de permutação finitos e exemplos especiais de grupos de matrizes para grupos abstratos que podem ser especificados através de uma apresentação por geradores e relações.

Grupos de permutação A primeira classe de grupos a ser submetida a um estudo sistemático foi a dos grupos de permutação.

Dado qualquer conjunto X e uma coleção G de bijeções de X nele mesmo (conhecidas como permutações) que é fechada sob composições e inversos, G é um grupo que atua em X. Se X consistir em n elementos e G consistir em todas as permutações, G é o grupo simétrico Sn; em geral, qualquer grupo de permutação G é um subgrupo do grupo simétrico de X. Uma construção inicial devida a Cayley exibiu qualquer grupo como um grupo de permutação, atuando sobre si mesmo () por meio da representação regular à esquerda.

Em muitos casos, a estrutura de um grupo de permutação pode ser estudada utilizando as propriedades da sua ação no conjunto correspondente. Por exemplo, desta forma prova-se que para , o grupo alternante An é simples, ou seja, não admite quaisquer subgrupos normais próprios. Este facto desempenha um papel fundamental na impossibilidade de resolver uma equação algébrica geral de grau em radicais.

Grupos de matrizes A próxima classe importante de grupos é dada pelos grupos de matrizes, ou grupos lineares.

Aqui G é um conjunto que consiste em matrizes invertíveis de uma dada ordem n sobre um corpo K que é fechado sob produtos e inversos. Tal grupo atua no espaço vetorial de dimensão n Kn através de transformações lineares. Esta ação torna os grupos de matrizes concetualmente semelhantes aos grupos de permutação, e a geometria da ação pode ser explorada de forma útil para estabelecer propriedades do grupo G.

Grupos de transformação Os grupos de permutação e os grupos de matrizes são casos especiais de grupos de transformação: grupos que atuam num certo espaço X preservando a sua estrutura inerente. No caso dos grupos de permutação, X é um conjunto; para grupos de matrizes, X é um espaço vetorial. O conceito de um grupo de transformação está intimamente relacionado com o conceito de um grupo de simetria: os grupos de transformação consistem frequentemente em todas as transformações que preservam uma determinada estrutura.

A teoria dos grupos de transformação forma uma ponte que liga a teoria dos grupos à geometria diferencial. Uma longa linha de investigação, com origem em Lie e Klein, considera ações de grupo em variedades por homeomorfismos ou difeomorfismos. Os próprios grupos podem ser discretos ou contínuos.

Grupos abstratos A maioria dos grupos considerados na primeira fase do desenvolvimento da teoria dos grupos eram "concretos", tendo sido realizados através de números, permutações ou matrizes. Foi só no final do século XIX que a ideia de um grupo abstrato começou a consolidar-se, onde "abstrato" significa que a natureza dos elementos é ignorada de tal forma que dois grupos isomorfos são considerados como o mesmo grupo. Uma forma típica de especificar um grupo abstrato é através de uma apresentação por geradores e relações,

Uma fonte significativa de grupos abstratos é dada pela construção de um grupo fator, ou grupo quociente, G/H, de um grupo G por um subgrupo normal H. Os grupos de classes de corpos de números algébricos estiveram entre os primeiros exemplos de grupos fatores, de grande interesse na teoria dos números. Se um grupo G for um grupo de permutação num conjunto X, o grupo fator G/H já não atua em X; mas a ideia de um grupo abstrato permite não nos preocuparmos com esta discrepância.

A mudança de perspetiva de grupos concretos para abstratos torna natural considerar as propriedades dos grupos que são independentes de uma realização particular, ou em linguagem moderna, invariantes sob isomorfismo, bem como as classes de grupos com uma dada propriedade dessas: grupos finitos, grupos periódicos, grupos simples, grupos solúveis, e assim por diante. Em vez de explorar as propriedades de um grupo individual, procura-se estabelecer resultados que se apliquem a toda uma classe de grupos. O novo paradigma foi de suma importância para o desenvolvimento da matemática: ele prenunciou a criação da álgebra abstrata nas obras de Hilbert, Emil Artin, Emmy Noether e matemáticos da sua escola.

Grupos com estrutura adicional Uma elaboração importante do conceito de um grupo ocorre se G for dotado de uma estrutura adicional, notavelmente, de um espaço topológico, variedade diferenciável ou variedade algébrica. Se a multiplicação e a inversão do grupo forem compatíveis com esta estrutura, isto é, se forem aplicações contínuas, suaves ou regulares (no sentido da geometria algébrica), então G é um grupo topológico, um grupo de Lie ou um grupo algébrico.Este processo de imposição de estrutura extra foi formalizado através da noção de um objeto de grupo numa categoria apropriada. Assim, os grupos de Lie são objetos de grupo na categoria das variedades diferenciáveis e os grupos algébricos afins são objetos de grupo na categoria das variedades algébricas afins.

A presença de estrutura extra relaciona estes tipos de grupos com outras disciplinas matemáticas e significa que mais ferramentas estão disponíveis no seu estudo. Os grupos topológicos formam um domínio natural para a análise harmónica abstrata, enquanto os grupos de Lie (frequentemente realizados como grupos de transformação) são os pilares da geometria diferencial e da teoria de representação unitária. Certas questões de classificação que não podem ser resolvidas em geral podem ser abordadas e resolvidas para subclasses especiais de grupos. Assim, os grupos de Lie compactos e conexos foram completamente classificados. Existe uma relação frutuosa entre grupos abstratos infinitos e grupos topológicos: sempre que um grupo Γ puder ser realizado como um reticulado num grupo topológico G, a geometria e a análise pertencentes a G produzem resultados importantes sobre Γ. Uma tendência comparativamente recente na teoria dos grupos finitos explora as suas conexões com grupos topológicos compactos (grupos profinitos): por exemplo, um único grupo analítico p-ádico G tem uma família de quocientes que são p-grupos finitos de várias ordens, e as propriedades de G traduzem-se nas propriedades dos seus quocientes finitos.

Ramos da teoria dos grupos

Teoria dos grupos finitos

Durante o século XX, os matemáticos investigaram alguns aspetos da teoria dos grupos finitos com grande profundidade, especialmente a teoria local de grupos finitos e a teoria dos grupos solúveis e nilpotentes. Como consequência, a classificação dos grupos simples finitos completa foi alcançada, o que significa que todos os grupos simples a partir dos quais todos os grupos finitos podem ser construídos são agora conhecidos.

[Image of symmetries of a regular polygon]

Durante a segunda metade do século XX, matemáticos como Chevalley e Steinberg também aumentaram a nossa compreensão dos análogos finitos dos grupos clássicos e de outros grupos relacionados. Uma dessas famílias de grupos é a família dos grupos lineares gerais sobre corpos finitos. Os grupos finitos ocorrem frequentemente ao considerar a simetria de objetos matemáticos ou físicos, quando esses objetos admitem apenas um número finito de transformações que preservam a sua estrutura. A teoria dos grupos de Lie, que pode ser vista como lidando com a "simetria contínua", é fortemente influenciada pelos grupos de Weyl associados. Estes são grupos finitos gerados por reflexões que atuam num espaço euclidiano de dimensão finita. As propriedades dos grupos finitos podem, assim, desempenhar um papel em disciplinas como a física teórica e a química.

Representação de grupos

Dizer que um grupo atua num conjunto significa que cada elemento de define uma aplicação bijetiva no conjunto de forma compatível com a estrutura de grupo. Quando tem mais estrutura, é útil restringir ainda mais esta noção: uma representação de num espaço vetorial é um homomorfismo de grupos:

onde GL() consiste nas transformações lineares invertíveis de . Noutras palavras, a cada elemento do grupo é atribuído um automorfismo tal que para qualquer em .

Esta definição pode ser entendida em duas direções, ambas as quais dão origem a domínios inteiros novos da matemática.Tais como a coomologia de grupos ou a teoria K equivariante. Por um lado, pode produzir novas informações sobre o grupo : frequentemente, a operação de grupo em é dada abstratamente, mas através de , corresponde à multiplicação de matrizes, que é muito explícita.Em particular, se a representação for uma representação fiel. Por outro lado, dado um grupo bem compreendido a atuar num objeto complicado, isto simplifica o estudo do objeto em questão. Por exemplo, se for finito, sabe-se que acima se decompõe em partes irredutíveis (veja o Teorema de Maschke). Estas partes, por sua vez, são muito mais fáceis de gerir do que todo o (através do Lema de Schur).

Dado um grupo , a teoria de representação pergunta então quais as representações de que existem. Existem vários contextos, e os métodos empregados e os resultados obtidos são bastante diferentes em cada caso: a teoria de representação de grupos finitos e as representações de grupos de Lie são dois dos principais subdomínios da teoria. A totalidade das representações é governada pelos caracteres do grupo. Por exemplo, os polinómios de Fourier podem ser interpretados como os caracteres de U(1), o grupo dos números complexos de valor absoluto 1, a atuar no espaço L2 das funções periódicas.

Teoria de Lie

Um grupo de Lie é um grupo que é também uma variedade diferenciável, com a propriedade de que as operações do grupo são compatíveis com a estrutura suave. Os grupos de Lie têm o nome de Sophus Lie, que lançou as bases da teoria dos grupos de transformações contínuos. O termo groupes de Lie apareceu pela primeira vez em francês em 1893 na tese do aluno de Lie Arthur Tresse, página 3.