thumb|alt=Balança vazia|Os pratos da balança contêm zero objetos, divididos em dois grupos iguais. A expressão paridade do zero refere-se ao fato de o número zero ser considerado um número par. Em outras palavras, sua paridade — a qualidade de um número inteiro ser par ou ímpar — é par. A maneira mais simples de provar que zero é par é checar se ele se encaixa na definição de número par: é um número inteiro, múltiplo de 2, especificamente . Como resultado disso, zero compartilha todas as propriedades que caracterizam os números pares: 0 é divisível por 2, é avizinhado de ambos os lados por números ímpares, é obtido através da soma de um inteiro com ele mesmo () e um conjunto com 0 objetos pode ser separado em dois conjuntos de mesmo tamanho.
Zero também se encaixa nos padrões formados por outros números pares. As regras aritméticas de paridade, tais como , requerem que 0 seja par. Zero é o elemento neutro do grupo de inteiros pares, e é o caso inicial a partir do qual outros números naturais pares são recursivamente definidos. Aplicações dessa recursão, da teoria dos grafos até a geometria computacional, requerem a paridade de zero. Não somente 0 é divisível por 2, como também é divisível por toda potência de 2, o que é extremamente relevante para o sistema de numeração binário usado por computadores. Nesse sentido, 0 é o número "mais par" de todos. "Pelo mesmo teste zero supera todos os números em 'paridade'."; "Portanto, o inteiro é o mais 'par'."
Entre o público geral, a paridade do zero pode ser uma fonte de confusão. Em experimentos psicológicos de tempo de reação, muitas pessoas são mais lentas em identificar 0 como par do que identificar a paridade de 2, 4, 6 ou 8, por exemplo. Alguns estudantes de matemática — e alguns professores — pensam que zero é ímpar, ou ambos (par e ímpar), ou nenhum dos dois. Pesquisadores em educação matemática dizem que esses equívocos podem se tornar oportunidades de aprendizado. Estudar igualdades como pode sanar dúvidas de estudantes sobre se 0 é um número e sobre usá-lo na aritmética. Discussões de classe podem levar estudantes a avaliar os princípios básicos do raciocínio matemático, tais como a importância das definições. Analisando a paridade desse número excepcional é um exemplo precoce de um tema que permeia a matemática: a abstração de um conceito familiar para uma configuração desconhecida mais complexa.
Por que zero é par A definição mais difundida de "número par" pode ser usada para provar diretamente que zero é um número par. Um número é chamado "par" se for um inteiro múltiplo de 2. Como um exemplo, o motivo de 10 ser par é que ele é obtido através da multiplicação entre 2 e 5. Da mesma forma, zero é um inteiro múltiplo de 2 (a saber, ), portanto zero é par.: Lema B.2.2, O inteiro 0 é par e não é ímpar. Penner usa o símbolo matemático ∃, a quantificação existencial, para estabelecer a prova: "Para ver que 0 é par, nós devemos provar que e isto segue da igualdade ."
Também é possível explicar porque zero é par sem se referir a definições formais. discute este desafio para professores das séries primárias, que querem dar razoes matemáticas para fatos matemáticos, mas cujos estudantes nem usam a mesma definição, nem poderiam entendê-la se fosse introduzida. As seguintes explicações fazem uso da ideia de que zero é par através de conceitos fundamentais sobre números. A partir destes fundamentos, pode-se prover argumentos racionais para a própria definição — e sua aplicação ao zero.
Explicações básicas thumb|alt=Na esquerda, caixas com 0, 2 e 4 objetos brancos em pares; na direita, 1, 3 e 5 objetos, com objetos não pareados em vermelho.|A caixa com 0 objetos não tem nenhum objeto vermelho sobrando.Compare Fig. 1 Zero é um número, e números são usados para contagem. Dado um conjunto de objetos, utiliza-se um número para descrever quantos objetos estão no conjunto. Zero representa a conta de nenhum objeto no conjunto; em termos mais formais, é o número de objetos no conjunto vazio. O conceito de paridade é usado para fazer grupos de dois objetos. Se os objetos em um conjunto puderem ser agrupados em duplas, com nenhum objeto sobrando, então o número de objetos é par. Se um objeto é deixado sem par, então o número de objetos no conjunto é ímpar. O conjunto vazio tem zero duplas e nenhum objeto é deixado sem par, portanto zero é par. " ... números respondem a questão 'Quantos?' para o conjunto de objetos ... zero é o número propriedade do conjunto vazio ... Se os elementos de cada conjunto são marados em grupos de dois ... então o número desse conjunto é um número par."
Essas ideias podem ser ilustradas ao desenhar-se objetos em duplas. É difícil retratar duplas, ou enfatizar a não existência de um objeto sobrando, então desenhar outros grupos e compará-los com o conjunto com zero duplas ajuda a compreender melhor a ideia. Por exemplo, no grupo de cinco objetos, existem duas duplas e, de modo mais importante, há um objeto sobrando, então 5 é ímpar. No grupo de quatro objetos, por outro lado, não há nenhum objeto sobrando, portanto 4 é par. No grupo de apenas um objeto, não existe nenhuma dupla, e existe um objeto sobrando, portanto 1 é ímpar. No grupo de zero objetos, não há nenhum objeto sobrando, portanto 0 é par. "Zero grupos de estrelas são circuladas. Nenhuma estrela sobra. Assim sendo, zero é um número par."
Existe outra definição concreta da paridade: se os objetos em um conjunto podem ser colocados em dois grupos de mesmo tamanho, então o número de objetos é par. A definição é equivalente a primeira. De novo, zero é par, pois o conjunto vazio pode ser dividido em dois grupos de zero itens cada.
Números também podem ser visualizados como pontos em uma reta numérica. Quando números pares e ímpares são distinguidos uns dos outros, o padrão torna-se óbvio, especialmente se números negativos são incluídos:
center|alt=Integers −4 through 10; even numbers are open circles; odd numbers are dots
Os números pares e ímpares alternam-se. Começando em qualquer número par, contar duas unidades para a esquerda ou para a direita alcança-se outro número par, e não há qualquer razão para ignorar o zero.; compare sua Fig. 3. "Se os números pares são identificados em alguma maneira especial ... não existe razão alguma para omitir zero do padrão."
Com a introdução da multiplicação, a paridade pode ser abordada de uma maneira mais formal usando expressões aritméticas. Todo inteiro é ou da forma ou da forma ; o primeiro caso representa os números pares e o segundo representa os ímpares. Por exemplo, 1 é ímpar porque , e 0 é par porque . Fazer uma tabela desses fatos reforça o argumento criado pela imagem da reta numérica acima. "Em um nível mais avançado ... números expressos como são números pares ... zero se encaixa muito bem nesse padrão." Número inteiroDecomposição únicaParidadeParÍmparParÍmparParÍmparParÍmparPar
Definindo paridade A definição precisa de um termo matemático, tal como "par" significando "inteiro que é múltiplo de dois", é em última análise uma convenção. Diferentemente de "par", alguns termos matemáticos são propositalmente construídos para excluir casos triviais ou degenerados. Números primos são um exemplo famoso. Antes do século XX, definições de primalidade eram inconsistentes, e matemáticos importantes como Goldbach, Lambert, Legendre, Cayley, e Kronecker classificavam 1 como primo. A definição moderna de "número primo" é "inteiro positivo com exatamente 2 divisores", então 1 não é primo. Esta definição pode ser racionalizada ao perceber que ela é mais adequada aos teoremas que dizem respeito aos números primos. Por exemplo, o teorema fundamental da aritmética é mais facilmente enunciável quando 1 não é considerado primo. "A exclusão aparentemente arbitrária de 1 da definição de primo ... não expressa um fato profundo sobre os números: simplesmente é uma convenção útil, adotada, de modo que existe apenas uma maneira de fatorizar qualquer número dado em números primos." Para um mais discussão mais detalhada, veja .
Seria possível similarmente redefinir o termo "par" de forma que não mais inclua o zero. Contudo, neste caso, a nova definição tornaria mais difícil enunciar teoremas que dizem respeito aos números pares. O efeito pode ser visto em regras algébricas que regem os números pares e ímpares. As regras mais relevantes dizem respeito a adição, subtração e multiplicação: par ± par = par ímpar ± ímpar = par par × inteiro = par Inserindo valores apropriados no lado esquerdo dessas regras, pode-se produzir 0 no lado direito:
As regras acima tornar-se-iam incorretas caso zero não fosse par. Na melhor das hipóteses, elas teriam que ser modificadas. Por exemplo, um guia de estudo de teste afirma que números pares são caracterizados como inteiros múltiplos de dois, mas zero não é "nem par nem ímpar". Estas regras são dadas, mas elas não são citadas textualmente. Consequentemente, essas regras contêm exceções: par ± par = par (ou zero) ímpar ± ímpar = par (ou zero) par × inteiro não nulo = par Fazer uma exceção para zero na definição de paridade força a criação de tais exceções nas regras para números pares. Sob outra perspectiva, tomar as regras obedecidas por números pares positivos e requerer que elas continuem a ser válidas para inteiros força a definição usual e a paridade de zero.
Contextos matemáticos Incontáveis resultados em teoria dos números são embasadas pelo teorema fundamental da aritmética e pelas propriedades algébricas de números pares, logo as escolhas descritas acima têm amplas consequências. Por exemplo, o fato de números positivos terem fatoração única significa que pode ser determinado se um número tem um número par ou ímpar de fatores primos distintos. Uma vez que 1 não é primo, e também não tem fatores primos, é um produto de 0 primos distintos; como 0 é um número par, 1 tem um número par de fatores primos distintos. Isso implica que a função de Möbius assume o valor , o que é necessário para ela ser uma função multiplicativa e para a fórmula de inversão de Möbius funcionar.
Não sendo ímpar Um número inteiro é ímpar se existe um número inteiro tal que . Uma maneira de provar que zero não é ímpar é por contradição: se , então , que não é um inteiro. Um resultado clássico da teoria dos grafos diz que um grafo de ordem ímpar (que tem um número ímpar de vértices) sempre tem ao menos um vértice de grau par. (A declaração por si só requer que zero seja par: o grafo nulo tem ordem par e um vértice isolado tem grau par.) Para vértices isolados veja p. 149; para grupos veja p.311. Para provar o enunciado, é na verdade mais fácil provar um resultado mais forte: qualquer grafo de ordem ímpar tem um número ímpar de vértices de grau par. A aparição deste número ímpar é explicada por um resultado ainda mais geral, conhecido como o lema do aperto de mão: qualquer grafo tem um número par de vértices de grau ímpar.
O lema de Sperner é uma aplicação mais avançada da mesma estratégia. O lema declara que um certo tipo de coloração em uma triangulação de um simplex tem um subsimplex que contém todas as cores. Em vez de diretamente construir tal subsimplex, é mais conveniente provar que existe um número ímpar de tais subsimplexes através de um argumento indutivo. Uma declaração mais forte do lema então explica porque este número é ímpar: ele naturalmente pode ser separado em quando são consideradas as duas possíveis orientações de um simplex.
Alternação par-ímpar thumb|alt=0->1->2->3->4->5->6->... em cores alternadas|Definição recursiva da paridade de números naturais.
O fato de zero ser par, aliado ao fato de que números pares e ímpares alternam-se, é suficiente para determinar a paridade de todos os outros números naturais. Tal ideia pode ser formalizada em uma definição recursiva do conjunto de números naturais: 0 é par; é par se e somente se não é par.