Em matemática, a métrica de Lévy–Prokhorov, algumas vezes chamada apenas de métrica de Prokhorov, é uma métrica, isto é, uma definição de distância, sobre a coleção de medidas de probabilidade em um dado espaço métrico. Recebe este nome em homenagem ao matemático francês Paul Lévy e ao matemático soviético Yuri Prokhorov. Prokhorov apresentou a métrica em 1956 como uma generalização da métrica de Lévy anterior.
Definição Considere um espaço métrico com sua sigma-álgebra de Borel . Suponha que denota a coleção de todas as medidas de probabilidade sobre o espaço mensurável .
Para um subconjunto , defina a vizinhança de por:em que é a bola aberta de raio centrada em .
A métrica de Lévy–Prokhorov é definida ao configurar a distância entre duas medidas de probabilidade e como:para medidas de probabilidade claramente .
Alguns autores omitem uma das duas desigualdades ou escolher apenas aberto ou fechado. Uma desigualdade implica a outra e , mas restringir a conjuntos abertos pode mudar a métrica então definida (se não for um espaço polonês).
Propriedades Se for separável, a convergência de medidas na métrica de Lévy–Prokhorov é equivalente à convergência fraca de medidas. Assim, é uma metrização da topologia de convergência fraca em . O espaço métrico é separável se e somente se for separável. Se for completo, então, é completo. Se todas as medidas em tiverem suporte separável, então, a implicação recíproca se aplica: se for completo, então, é completo. Se for separável e completo, um subconjunto é relativamente compacto se e somente se seu -fechamento for -compacto.
Referências
Categoria:Geometria métrica Categoria:Teoria da medida Categoria:Teoria das probabilidades Categoria:Paul Pierre Lévy