Na matemática e na física, o teorema da recorrência de Poincaré é um resultado fundamental tanto na teoria dos sistemas dinâmicos quanto na mecânica estatística. O teorema deve o seu nome a Henri Poincaré, que o discutiu em 1890.Poincaré, Œuvres VII, 262–490 (teorema 1 seção 8) Uma demonstração foi apresentada por Constantin Carathéodory com recurso à teoria da medida em 1919.Carathéodory, Ges. math. Schr. IV, 296–301
Em termos simples, o teorema estabelece que, se um sistema possui um volume finito (ou medida de probabilidade total finita) e preserva esse volume ao longo do tempo, então quase todo estado inicial acabará por retornar arbitrariamente próximo de sua posição de partida, e o fará infinitas vezes.
Definições e formulação de Poincaré Qualquer sistema dinâmico definido por uma equação diferencial ordinária determina uma aplicação de fluxo f t que mapeia o espaço de fase em si mesmo. Cada ponto do espaço de fase descreve o estado completo do sistema, tipicamente as posições e velocidades de todas as partículas envolvidas. A aplicação de fluxo indica a evolução do sistema: se este se inicia no estado x, após um tempo t o sistema encontrar-se-á no estado f t(x). Se acompanharmos este ponto para todos os instantes de tempo t, obtemos a órbita de x. Diz-se que o sistema é preservador de volume se o volume de qualquer conjunto no espaço de fase for invariante sob a ação do fluxo. A formulação de Poincaré para o teorema estabelece:
Se um fluxo preserva volume e possui apenas órbitas limitadas, então, para cada conjunto aberto, existe uma órbita que intersecta esse conjunto aberto infinitas vezes.
Uma consequência do teorema é que sistemas dinâmicos conservativos retornarão, após um tempo finito suficientemente longo, quase certamente a um estado arbitrariamente próximo de seu estado inicial. O resultado aplica-se a sistemas mecânicos isolados sujeitos a determinadas restrições, por exemplo, que todas as partículas estejam confinadas a um volume finito. Sistemas aos quais o teorema da recorrência de Poincaré se aplica são denominados sistemas conservativos.
O tempo de recorrência de Poincaré, estimado pelo lema de Kac, é o intervalo de tempo decorrido até que a recorrência ocorra. Esse tempo pode variar amplamente dependendo do estado inicial exato e do grau de proximidade exigido.
Discussão, exemplo e aplicações Podemos conceber o conjunto aberto como minúsculo; a proposição assevera que haverá órbitas que retornam a esse conjunto minúsculo. (Na realidade, de acordo com formulações mais modernas do teorema apresentadas adiante, quase todas as órbitas que se iniciam no conjunto minúsculo retornarão a ele infinitas vezes).
A premissa de que todas as órbitas sejam limitadas é crucial: caso contrário, as órbitas poderiam escapar para o infinito, sem jamais retornar.
A outra premissa fundamental é que o sistema seja preservador de volume. Esta é uma propriedade comum de sistemas físicos quando não há atrito ou resistência do ar, nenhuma energia é introduzida externamente e nenhuma energia é dissipada sob a forma de calor. Tecnicamente, todos os sistemas hamiltonianos preservam volume no espaço de fase em virtude do teorema de Liouville. (Sistemas que não preservam o volume do espaço de fase e dissipam energia ao longo do tempo poderiam iniciar-se num minúsculo conjunto aberto e, posteriormente, desacelerar até o repouso em algum outro ponto, sem jamais retornar).
Como exemplo do teorema, considere uma mesa de bilhar (sem caçapas) e um conjunto de bolas de bilhar movendo-se sobre a mesa sem atrito e sofrendo colisões perfeitamente elásticas com as tabelas e entre si. Isto assegura que nenhuma energia seja perdida e que o fluxo preserve o volume no espaço de fase. Podemos inclusive admitir a presença de elevações e depressões na superfície da mesa. Um ponto no espaço de fase especifica as posições e velocidades de todas as bolas. Se impusermos uma energia total máxima finita às bolas, o sistema possuirá órbitas limitadas e o teorema de Poincaré será aplicável. Ele afirma que: ao especificar as posições e velocidades iniciais de todas as bolas com precisão arbitrária (mas finita), existirão órbitas que partem dessas especificações e que retornarão infinitas vezes a condições que também satisfazem tais especificações. Note-se, contudo, que nem todas as órbitas retornarão necessariamente: é possível conceber trajetórias tão finamente ajustadas que algumas bolas venham a repousar exatamente no cume das elevações, jamais retornando.
O teorema da recorrência de Poincaré possui aplicações na mecânica estatística, nos sistemas dinâmicos e na teoria ergódica. Na mecânica estatística, é utilizado para prever o comportamento a longo prazo de sistemas isolados, como gases confinados num volume finito, onde se espera que o sistema retorne arbitrariamente próximo de seu estado inicial após um intervalo de tempo suficiente.
No estudo de sistemas dinâmicos, o teorema aplica-se a sistemas conservativos e fornece intuições fundamentais sobre as propriedades de recorrência de transformações que preservam medida. Conceitos correlatos surgem igualmente na teoria ergódica, na qual a recorrência desempenha um papel fulcral na compreensão do comportamento das trajetórias ao longo do tempo.
Ideia da demonstração e discussão adicional A demonstração qualitativa assenta em duas premissas: Pode-se estabelecer um limite superior finito para o volume total potencialmente acessível do espaço de fase. Para um sistema mecânico, esse limite é garantido ao exigir que o sistema esteja contido numa região física limitada do espaço (de modo que não possa, por exemplo, ejetar partículas que jamais retornem) — o que, combinado com a conservação da energia, confina o sistema a uma região finita no espaço de fase. O volume de fase de um elemento finito sob a dinâmica é conservado.
Imagine-se qualquer volume inicial finito do espaço de fase e acompanhe-se a sua trajetória sob a dinâmica do sistema. (Finito aqui significa que o volume é estritamente positivo). O volume evolui através de um tubo de fase no espaço de fase, mantendo o seu tamanho constante. Dado que o espaço de fase é finito, após um certo número de passos o tubo de fase deve necessariamente intersectar a si mesmo num volume positivo. Transladando essa intersecção para trás no tempo, constata-se que pelo menos uma fração finita do volume inicial é recorrente.
Considere-se agora a medida da porção não recorrente do volume de fase inicial — aquela porção que jamais retorna ao volume inicial . Utilizando o princípio do parágrafo anterior, sabemos que se for finito, então uma parte finita dele deve retornar a após um certo número de passos, e, por conseguinte, também retorna a . Isso contradiz o facto de que a totalidade de é não recorrente. Devemos concluir, portanto, que a porção não recorrente possui volume igual a 0.
O teorema não se pronuncia sobre determinados aspectos da recorrência que esta demonstração não pode assegurar: Podem existir pontos especiais no espaço de fase que jamais retornam ao volume de fase inicial, ou que retornam ao volume inicial apenas um número finito de vezes e nunca mais retornam. Estes são extremamente raros, constituindo uma fração infinitesimal de qualquer volume inicial. O que se pode afirmar é que, para quase qualquer fase inicial, o sistema acabará por retornar arbitrariamente próximo dessa fase inicial. O tempo de recorrência varia conforme o grau de proximidade exigido (isto é, a pequenez do volume de fase). Nem todas as partes do volume de fase necessitam retornar ao mesmo tempo. Algumas não atingem o volume inicial na primeira passagem, realizando o seu retorno posteriormente. Nada impede que o tubo de fase retorne completamente ao seu volume inicial antes que todo o volume de fase acessível seja esgotado. Um exemplo trivial disso é o oscilador harmônico. Sistemas que preenchem todo o volume de fase acessível são chamados ergódicos. (Isto, naturalmente, depende da definição de volume acessível). Para uma dada fase num volume, a recorrência não é necessariamente periódica. O tempo da segunda recorrência não precisa ser o dobro do primeiro tempo de recorrência. O teorema não garante a existência de uma órbita periódica, isto é, de um ponto do espaço de fase que retorne exatamente a si mesmo após um determinado período de tempo.
Enunciado formal
O paradoxo físico Na física, este teorema gera um paradoxo filosófico (o paradoxo de Zermelo) em relação à segunda lei da termodinâmica. Se abrirmos um frasco de perfume num quarto fechado e de dimensões finitas, a termodinâmica prevê que as moléculas gasosas se dispersarão e jamais retornarão espontaneamente para o interior do frasco.
Contudo, como a mecânica clássica numa caixa fechada preserva o volume do espaço de fase (pelo teorema de Liouville), o teorema de Poincaré garante que, se esperarmos tempo suficiente, as moléculas irão, de facto, reagrupar-se espontaneamente no interior do frasco. O porém? O tempo de recorrência de Poincaré para sistemas macroscópicos é assombrosamente longo — ordens de magnitude superior à idade atual do universo.
A demonstração
Extensões e generalizações Ao longo dos anos, o teorema de Poincaré foi substancialmente estendido para se aplicar a estruturas matemáticas mais complexas:
Recorrência topológica: Se for um espaço métrico compacto e for uma aplicação contínua, um ponto é topologicamente recorrente se . Enquanto a teoria da medida garante isso em quase toda parte para aplicações que preservam medida, a dinâmica topológica busca conjuntos de pontos que sejam densos ou formem conjuntos residuais (teorema das categorias de Baire). Recorrência múltipla (teorema de Furstenberg): Hillel Furstenberg generalizou a recorrência de Poincaré em 1977 para mostrar que, para qualquer sistema com e qualquer inteiro , existe um tal que:
Esta extensão pioneira foi utilizada para fornecer uma demonstração puramente teórico-ergódica do Teorema de Szemerédi (o qual afirma que qualquer subconjunto dos inteiros com densidade superior positiva contém progressões aritméticas arbitrariamente longas). Recorrência quantitativa (Barreira, Saussol, etc.): Em vez de apenas indagar se um ponto retorna, a recorrência quantitativa investiga com que rapidez ele retorna. Em muitos sistemas caóticos, se for uma bola de raio em torno de , o tempo de primeiro retorno escala como , onde é a dimensão local da medida. Espaços de medida infinita: Se , o teorema clássico falha (por exemplo, em ). Extensões para medidas infinitas requerem a imposição de propriedades conservativas sobre o operador (conduzindo à decomposição de Hopf em partes conservativa e dissipativa).
Versão na mecânica quântica Para sistemas da mecânica quântica independentes do tempo com autoestados de energia discretos, é válido um teorema análogo. Para cada e , existe um tempo T maior do que tal que , onde denota o vetor de estado do sistema no instante t.
Os elementos essenciais da demonstração são os seguintes. O sistema evolui no tempo de acordo com:
onde os são os autovalores de energia (utilizam-se unidades naturais, de modo que ), e os são os autoestados de energia. O quadrado da norma da diferença entre o vetor de estado no instante e no instante zero pode ser escrito como:
Podemos truncar o somatório num determinado n = N independente de T, pois
o qual pode ser tornado arbitrariamente pequeno aumentando-se N, uma vez que a soma , sendo o quadrado da norma do estado inicial, converge para 1.
A soma finita
pode ser tornada arbitrariamente pequena para escolhas específicas do tempo T, de acordo com a seguinte construção. Escolha-se um arbitrário e, em seguida, escolha-se T de tal modo que existam inteiros que satisfaçam ,
para todos os números . Para esta escolha específica de T,
Como tal, temos: .
O vetor de estado retorna, portanto, arbitrariamente próximo do estado inicial .
Ver também Mapa do gato de Arnold Hipótese ergódica