direita|miniaturadaimagem|Triângulo retângulo Um triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo em que um dos ângulos é reto (ou seja, um ângulo de 90 graus). A relação entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria.
O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa (lado na figura). Os lados adjacentes ao ângulo reto são chamados de catetos. O lado pode ser identificado como o lado adjacente ao ângulo e oposto ao ângulo , enquanto o lado é o lado adjacente ao ângulo e oposto ao ângulo .
Se os comprimentos dos três lados de um triângulo retângulo são inteiros, o triângulo é considerado um triângulo pitagórico e seus comprimentos laterais são coletivamente conhecidos como um triplo pitagórico.
Principais propriedades
Área Como em qualquer triângulo, a área é igual à metade da base multiplicada pela altura correspondente. Em um triângulo retângulo, se um cateto é tomado como base, a outro é a altura; portanto, a área de um triângulo retângulo é metade do produto dos dois catetos. Como fórmula, a área é
onde e são os catetos do triângulo.
Se o círculo inscrito for tangente à hipotenusa no ponto , denotando o semiperímetro como , teremos e , e a área será dada por
Esta fórmula se aplica apenas a triângulos retângulos.Di Domenico, Angelo S., "A property of triangles involving area", Mathematical Gazette 87, Julho de 2003, pp. 323-324.
Alturas ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Teorema.png|direita|miniaturadaimagem|Altura de um triângulo retângulo Se uma altura é traçada a partir do vértice com o ângulo reto em relação à hipotenusa, o triângulo é dividido em dois triângulos menores que são semelhantes ao original e, portanto, um ao outro. Disto:
A altura da hipotenusa é a média geométrica (média proporcional) dos dois segmentos da hipotenusa.Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996. Cada cateto do triângulo é a média proporcional da hipotenusa e o segmento da hipotenusa adjacente ao cateto.
Em equações,
(isso às vezes é conhecido como o teorema da média geométrica)
onde , , , , , são mostrados no diagrama.Wentworth p. 156 Portanto
Além disso, a altura da hipotenusa está relacionada aos catetos do triângulo retângulo porVoles, Roger, "Integer solutions of ," Mathematical Gazette 83, Julho de 1999, 269–271.Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, Julho de 2008, 313–317.
A altitude de um dos catetos coincide com a do outro. Como eles se cruzam no vértice em ângulo reto, o ortocentro do triângulo retângulo — a interseção de suas três alturas — coincide com o vértice em ângulo reto.
Teorema de Pitágoras O teorema pitagórico afirma que:Isso pode ser afirmado na forma de equação como
onde é o comprimento da hipotenusa e e são os comprimentos dos dois lados restantes.
Os triplos pitagóricos são valores inteiros de , , que satisfazem esta equação.
Inraio e circunraio ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Illustration_to_Euclid's_proof_of_the_Pythagorean_theorem.png|miniaturadaimagem|200x200px|Ilustração do teorema pitagórico O raio do círculo inscrito em um triângulo retângulo com os catetos e e hipotenusa é
O raio do círculo circunscrito é a metade do comprimento da hipotenusa,
Assim, a soma do circunraio e do inraio é a metade da soma dos catetos:Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”, .
Um dos catetos pode ser expresso em relação ao inraio e o outro cateto como
Caracterizações Um triângulo com lados , semiperímetro , área , altura oposta ao lado mais longo, circunraio , inraio , exraio , , (tangente a , , respectivamente) e medianas , , é um triângulo retângulo se, e somente se, alguma das afirmações na as seis categorias a seguir são verdadeiras. Todos eles também são propriedades de um triângulo retângulo, já que caracterizações são equivalências.
Lados e semiperímetro
Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 109-110.
Ângulos
A e B são complementares. CTK Wiki Math, A Variant of the Pythagorean Theorem, 2011, .
Área
, onde é o ponto de tangência do incírculo no lado mais longo ..
Inraio e exraio
Altura e medianas
O comprimento de uma mediana é igual ao circunraio. A altura mais curta (a do vértice com o maior ângulo) é a média geométrica dos segmentos de reta em que divide o lado oposto (mais longo). Este é o teorema da altura do triângulo retângulo.
Círculo inscrito e circunscrito
O triângulo pode ser inscrito em um semicírculo, com um lado coincidindo com a totalidade do diâmetro (Teorema de Tales). O circuncentro é o ponto médio do lado mais longo. O lado mais longo é o diâmetro do círculo circunscrito O circuncírculo é tangente ao círculo de nove pontos. O ortocentro fica no circuncírculo. A distância entre o incentro e o ortocentro é igual a .
Bibliografia
Ligações externas
Calculando a área do triângulo retângulo
Categoria:Geometria do triângulo Categoria:Polígonos Categoria:Desenho geométrico