Na matemática, a desigualdade de martingale de Doob é um resultado no estudo dos processos estocásticos. Esta dá um limite sobre a probabilidade de que um processo estocástico exceda qualquer dado valor sobre um dado intervalo de tempo. Como o nome sugere, o resultado é geralmente dado no caso em que o processo é um martingale negativo, mas o resultado também é válido para submartingales não negativos.
A desigualdade recebe este nome em homenagem ao matemático norte-americano Joseph Leo Doob.
Afirmação da desigualdade Considere um submartingale que assume valores reais não negativos, seja em tempo discreto, seja em tempo contínuo. Isto é, para todos os tempos e com :Para um submartingale de tempo contínuo, assume-se posteriormente que o processo é càdlàg. Então, para qualquer constante ,Acima, como é convencional, denota a medida de probabilidade no espaço amostral do processo estocástico:e denota o valor esperado com respeito à medida de probabilidade , isto é, a integralno sentido da integração de Lebesgue. denota a sigma-álgebra gerada por todas as variáveis aleatórias com . A coleção de tais sigma-álgebras forma uma filtração do espaço de probabilidade.
Desigualdades posteriores Há desigualdades de (sub)martingale posteriores que também se devem a Doob. Com os mesmos pressupostos sobre como acima, considere:e, para , considere:Nesta notação, a desigualdade de Doob como afirmada acima lê:As seguintes desigualdade também se aplicam: para ,e, para ,
Desigualdades relacionadas A desigualdade de Doob para martingales de tempo discreto implica a desigualdade de Kolmogorov: se for uma sequência de variáveis aleatórias independentes de valores reais, cada uma com média zero, fica claro que:de modo que é um martingale. Note que a desigualdade de Jensen implica que é um submartingale não negativo se for um martingale. Assim, assumindo na desigualdade de martingale de Doob,que é precisamente a afirmação da desigualdade de Kolmogorov.
Aplicação no movimento browniano Considere que denota um movimento browniano unidimensional canônico. Então,A prova é como segue: já que a função exponencial é monotonamente crescente, para qualquer não negativo,Pela desigualdade de Doob e, já que a exponencial do movimento browniano é um submartingale positivo,Já que o lado esquerdo não depende de , escolhe-se para minimizar o lado direito. dá a desigualdade desejada.
Referências
Categoria:Processos estocásticos