miniaturadaimagem|O gráfico mostra uma simulação de um processo de Wiener (+/-1 passo unitário) e seu reflexo em um ponto de cruzamento. Usado para ilustrar o princípio da Reflexão na teoria das probabilidades. Na teoria das probabilidades e nos processos estocásticos, o princípio da reflexão para um processo de Wiener afirma que, se o caminho de um processo de Wiener atingir um valor em um tempo , então o caminho subsequente depois do tempo tem a mesma distribuição da reflexão do caminho subsequente sobre o valor . Mais formalmente, o princípio da reflexão se refere a um lema que diz respeito à distribuição do supremo do processo de Wiener, também chamado de movimento browniano. O resultado relaciona a distribuição do supremo do movimento browniano até o tempo com a distribuição do processo no tempo . É um corolário da propriedade forte de Markov do movimento browniano.
Afirmação Se for um processo de Wiener a for um limiar (também chamado de ponto de cruzamento), então o lema afirma:De forma mais forte, o princípio da reflexão afirma que, se for um tempo de parada, então a reflexão do processo de Wiener que começa em , denotada , é também um processo de Wiener, em que:e a função indicadora e são definidos de forma semelhante. A forma mais forte implica o lema original ao escolher .
Prova O tempo de parada mais precoce para atingir o ponto de cruzamento , , é um tempo de parada limitado quase certamente. Então, podemos aplicar a propriedade forte de Markov para deduzir que um caminho relativo subsequente a , dado por , é também um movimento browniano simples independente de . Então, a distribuição de probabilidade para o último tempo está no limiar ou acima dele no intervalo de tempo e pode ser decomposta como:Pela propriedade de torre para expectativas condicionais, o segundo termo se reduz a:já que é um movimento browniano padrão independente de e tem probabilidade de ser menor que . A prova do lema é completada ao substituir isto na segunda linha da primeira equação:
Consequências O princípio da reflexão é frequentemente usado para simplificar propriedades distributivas do movimento browniano. Considerando o movimento browniano no intervalo restrito , então o princípio da reflexão nos permite provar que a locação dos máximos , que satisfazem , tem a distribuição arco-seno. Esta é uma das leis arco-seno de Lévy.
Referências
Categoria:Processos estocásticos Categoria:Teoremas de matemática