A Transformada de Laplace apresenta uma variedade de propriedades operacionais.Tabela de transformadas de Laplace em Transformadas integrais - Um Livro Colaborativo, mantido pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul A lista a seguir mostra alguma delas:
Linearidade A transformada de Laplace é uma transformação linear, ou seja,
Sempre que cada uma das transformadas existirem. A transformada se comporta dessa forma devido a propriedade de linearidade da integral.
Demonstração:
Observação: A transformada inversa de Laplace também é uma transformação linear, ou seja,
Transformada de Laplace de uma derivada Se é contínua e de ordem exponencial e é contínua por partes para , então
Se e são contínuas e é contínua por partes. Então podemos aplicar a expressão acima duas vezes e obter:
Analogamente, se , , ... , são contínuas e é contínua por partes, então:
Demonstração:
Sejae, utilizando o método da Integração por partes, onde e temos considerando e utilizando a definição de Transformada de Laplace chegamos em: https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-tl/mainse5.html
Transformada de Laplace de uma integral Se é a transformada de Laplace de uma função contínua por partes , então é a transformada inversa de .
Demonstração: Seja . Então, . Aplicamos a propriedade da transformada da derivada e temos:
Usando o fato que , temos
Deslocamento no tempo Estas funções podem representar sinais "liga/desliga" - como a função pulso, onde uma determinada função pode surgir num determinado tempo e, logo após, voltar a ser nula e/ou ser alterada. miniaturadaimagem|Função pulso com a<b A função pulso é definida por:
miniaturadaimagem|Função degrau unitário A função degrau unitário, ou função de Heaviside. é definida assim
Consequentemente, o produto:
é a função f(t) deslocada uma distância a no sentido positivo do eixo do tempo t , sendo nula para t < a. Sendo assim tem-se o seguinte;
Definição:
e a inversa:
Demonstração: Aplica-se diretamente a transformada de Laplace de e usa-se a propriedade aditiva de integrais
usando o fato de que , tem-se:
. Agora faz-se a mudança de variável na integral e altera-se os limites de integração novamente:
, que é a definição de transformada de Laplace.
e concluímos que:
Isto é, quando a função é deslocada a unidades no sentido positivo do tempo t , a sua representação no domínio das frequências fica multiplicada por . Essa propriedade é útil para calcular transformadas de funções com descontinuidades.
Deslocamento na frequência Conhecida como deslocamento ou translação do eixo s, é possível conhecer a transformada de múltiplos exponenciais de uma função desde que conheçamos a sua transformada, isto é:
,
ou
Demonstração: Faz-se a aplicação direta da definição de transformada de Laplace de :
Exemplo 1: Calculemos a transformada de Laplace de :
Usando a definição de transformada calcula-se
Aplicando a propriedade da translação tem-se
Exemplo 2: Analogamente é possível calcular a transformada de Laplace de :
Primeiro escreve-se Seno hiperbólico na sua forma exponencial
Assim, pela propriedade da Linearidade, pode-se colocar em evidência,tem-se
Então aplica-se a propriedade da translação do eixo s
Teorema de Convolução A convolução é uma operação que permite relacionar algumas funções com a transformada inversa do produto das suas transformações.
Demostração: Partimos da definição das transformadas:
e
Logo,
Mantemos fixo e fazemos a mudança de variável para obter:
Mudamos a ordem de integração na região que é a metade inferior do primeiro quadrante: em vez de variar em depois em primeiro vamos variar em , depois em , ou seja
Transformada de Laplace de uma função de período T Se f(t) é uma função contínua por partes, de ordem exponencial e periódica de período T. Então a transformada de Laplace existe e é da forma
Demonstração: Aplicando a definição e separando a integral nos períodos da função f(t) para obter:
Fazendo a mudança de variável e obtêm-se
Usando o fato que a função é periódica, ou seja, , se tem:
onde usa-se a soma de uma série geométrica de razão .
As funções periódicas aparecem com frequência representando forças externas em sistemas mecânicos e elétricos.
Derivada da transformada de Laplace
Dada uma função , podemos escrever que , e temos então:
E pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
A derivada da Transformada de Laplace em Transformadas integrais - Um Livro Colaborativo, mantido pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul Integral da transformada de Laplace Se é a transformação de Laplace de e existe então :
Demonstração:
Escalamento
Valor inicial Se F(s) é a transformada de Laplace de uma função f(t) de ordem exponencial c e
,
então
.
Demonstração : Usando a definição da Transformada podemos escrever
Dessa forma podemos observar que a segunda integral tende a zero quando independente do valor de a e b, pois o fato da função ser de ordem exponencial e contínua por partes implica f(t) limitada em [a,b], ou seja, e, portanto,
A última integral também tende a zero se b for suficientemente grande, pois existem c e M > 0 tal que para t>b e, portanto,
E por fim, para a suficientemente pequeno, f(t) se aproxima de L, pois , ou seja,
Como quando , então
Valor final Se é a transformada de Laplace de e
então,
Demonstração Usamos a Definição de transformada de Laplace para escrever
Observe que a primeira parcela do lado direito tende a zero independentemente do valor de .Porém, para suficientemente grande, se aproxima de , pois , ou seja,
e,
Como quando , então
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