Em acústica e telecomunicações, a de uma onda, ou frequência de ressonância, é a frequência específica de vibração que tem a propriedade de causar o fenômeno de ressonância em outros sistemas. Por definição, a frequência que causa a primeira ressonância de uma onda é chamada de frequência fundamental, e dela provêm os demais harmônicos.
Os harmônicos têm uma forte aplicação na música, pois eles definem as frequências do som (uma onda mecânica longitudinal) audível que correspondem às notas da escala musical (mais precisamente, às notas do que chamamos série harmônica). Partindo-se da frequência fundamental, é possível obter frequências, cada uma delas correspondente à frequência de determinada nota musical da série. Por esse motivo, o conjunto de todos os modos de oscilação possíveis é chamado de série harmônica.
Definição e contextualização As duas principais circunstâncias em que os harmônicos são visualizados mais facilmente são no comportamento de cordas vibrantes e de ondas em tubos sonoros. Isso se dá pelo fato de, em casos com esses, a onda encontrar-se limitada a um espaço fixo, o que provoca reflexões e interferências. Esse é o princípio das ondas estacionárias, correspondentes ao estudo dos harmônicos, formadas por interferência de ondas que se propagam em sentidos opostos.
Tomando como exemplo uma corda de determinado comprimento e presa nas duas extremidades, pode-se facilmente observar o comportamento estacionário da onda ao provocar uma instabilidade na corda. A onda criada propaga-se pela corda até atingir as extremidades, e então, é refletida, provocando interferência com ela própria. Dessa maneira, é possível ter a configuração de onda estacionária dada pela imagem.
Para o campo dos harmônicos, a onda estacionária também é chamada de modo de oscilação. O fato é que tais modos de oscilação só são formados quando a onda tem determinadas frequências e, nesse caso, ao formar-se a onda estacionária, é dito que a onda sofreu ressonância. Apenas frequências específicas, chamadas frequências de ressonância, fazem com que a onda estacionária seja formada e, consequentemente, haja ressonância. Caso a frequência seja diferente, a interferência das ondas refletidas não será tal a formar a onda estacionária, mas sim pequenas (muitas vezes, imperceptíveis) vibrações aleatórias no meio de propagação.
Esse princípio é facilmente observável em cordas vibrantes com as duas extremidades fixas. Em tubos sonoros, entretanto, pode haver uma ou duas extremidades abertas. Porém, a onda continua sendo refletida na extremidade do tubo, mesmo que não de forma completa. E, da mesma forma, ao interferir com a outra onda, o som resultante pode entrar em ressonância ao se formar uma onda estacionária, apenas em determinadas frequências.thumb|750x750px|Esquema do comportamento de uma onda estacionária (preta). As duas ondas que a formam (azul e vermelha) interferem entre si e formam a onda resultante. Pelo fato das extremidades fixas, as ondas (azul e vermelha) são reflexões da mesma onda. Ao interferirem entre si, formam a onda estacionária (preta). Os pontos vermelhos representam os nós (ou nodos) da onda resultante.|centro Denominação A série harmônica ou espectro de ressonância, , é o conjunto de todas as frequências de ressonância das ondas que, ao interferirem após uma reflexão, sofrem ressonância. No campo da música, a série harmônica também corresponde às frequências, porém inclui sua relação com as notas musicais em diferentes alturas da extensão do som.
O número harmônico, , é o índice de determinada frequência. É conveniente dizer que é o número referente ao enésimo harmônico. Assim, refere-se ao primeiro harmônico, refere-se ao segundo harmônico, e assim por diante.
A frequência fundamental é dada por , a frequência de ressonância do primeiro harmônico (ou, simplesmente, primeiro harmônico). Na música, uma das frequências fundamentais é dada por , cujo som corresponde ao Lá1, a décima quinta tecla branca do piano moderno. As demais frequências são dadas por múltiplos inteiros dessa frequência: 220 Hz, 330 Hz, 440 Hz e assim por diante. Essas frequências formam a série harmônica musical e guardam interessantes propriedades intervalares entre si, campo de estudo da teoria harmônica. Não existe apenas uma série harmônica na música: qualquer série pode ser formada partindo de uma frequência fundamental (ou som gerador).
Nós e antinós Para o estudo dos harmônicos, é importante ressaltar que os nós (ou nodos) de uma onda são pontos onde o deslocamento transversal é nulo. Os antinós (ou antinodos) são pontos de deslocamento transversal máximo. Ao analisar as extremidades de uma onda estacionária, verifica-se que, se a extremidade é fixa, nela, a onda apresenta um nó; se a extremidade é livre, nela, a onda apresenta um antinó.
Essa abordagem será útil na concepção dos diferentes casos de harmônicos, explicitada a seguir. thumb|Comportamento das ondas estacionárias com extremidades fixas. A distância entre dois nós consecutivos vai sendo diminuída a cada harmônico, na proporção .
Equações Como os harmônicos estão relacionados às ondas estacionárias, que dependem da interferência de ondas refletidas nas extremidades, é possível verificar três casos particulares de seu comportamento: Em ondas com duas extremidades fixas; Em ondas com duas extremidades livres; Em ondas com apenas uma das extremidades fixas. A primeira situação é mais comumente verificada em cordas vibrantes, e as duas últimas, em tubos sonoros. Entretanto, a análise das grandezas da onda é feita da mesma forma para os três casos. Os resultados abaixo são conhecidos como condição para onda estacionária, pois as equações seguintes são aplicáveis a casos tais que a onda é estacionária, e ocorre ressonância.
Duas extremidades fixas Nesse caso, vamos supor que a onda, senoidal, está se propagando numa corda esticada que está presa nas duas extremidades. A corda tem comprimento . Pelo fato de as extremidades estarem fixas, elas não podem oscilar, o que implica que, nas extremidades, estão nós da onda.
A mais simples configuração possível nessa condição é ter um antinó no centro da corda. Como o comprimento de onda é a distância entre duas cristas ou dois vales consecutivos, é notável que, para essa configuração, . left|thumb|321x321px|Comportamento de ondas estacionárias com duas extremidades fixas. Em vermelho, os nós; em azul, os antinós. A figura apresenta os quatro primeiro harmônicos. Observe que: Ampliando a abordagem, se a onda tiver dois antinós entre as extremidades, teremos uma oscilação completa no comprimento da corda. Nessa configuração, tem-se . Verificando o comportamento da onda com três antinós, é visível uma oscilação completa e meia oscilação entre as duas extremidades, o que fornece
Se continuarmos com o processo, a onda apresentará cada vez mais antinós entre as extremidades, e o comprimento de onda ficará cada vez menor. Analisando os resultados, fica claro que, se a onda tem duas extremidades fixas,
Relacionado essa equação com , obtém-se que: miniaturadaimagem|330px|Animação representando o comportamento de uma onda se propagando entre duas extremidades fixas, em cada linha é apresentado uma harmônico diferente. É possível comparar as duas colunas, na direita há a ênfase no comportamento entre os nós e na coluna da esquerda vê-se a modificação total do modo de vibração em função da frequência do harmônico.
(frequências de ressonância, duas extremidades fixas)
Sendo a frequência de ressonância para determinado . Toda a análise acima foi feita a partir de observações de ondas estacionárias. Isso implica que a onda está sofrendo ressonância em tais configurações e, portanto, a frequência dada será uma frequência de ressonância. Observa-se que a menor frequência possível para um determinado comprimento é dada quando , ou seja:
.
Essa é a frequência ou modo fundamental do primeiro harmônico, . Ela ocorre quando a onda estacionária formada tem apenas um antinó entre suas extremidades fixas. As seguintes frequências, formadas são múltiplos inteiros de , pois:
Se estivermos tratando de uma corda, podemos relacionar os resultados acima com a equação , que expressa a velocidade de uma onda que propaga-se numa corda. Assim, apenas para cordas, obtemos:
(frequências de ressonância, ondas estacionárias em cordas, duas extremidades fixas)
Em linguagem matemática, pode-se denotar a equação desse caso numa equação mais geral como:
(frequências de ressonância, duas extremidades fixas)
Duas extremidades livres Nesse caso, vamos supor que a onda tratada é uma onda sonora que propaga-se no interior de um tubo de comprimento . Mesmo que a onda seja longitudinal, o comprimento de onda também é a distância entre duas cristas ou vales consecutivos. A análise, portanto, é semelhante. left|thumb|340x340px|Comportamento de ondas estacionárias com duas extremidades livres (abertas). Em vermelho, os nós; em azul, os antinós. A figura apresenta os quatro primeiro harmônicos. Observe que: Assim como em uma corda, as ondas sonoras do interior de um tubo possuem nós e antinós, e sofrem reflexões nas extremidades. As extremidades abertas do tubo são como extremidades livres de uma corda presa a um anel que movimenta-se livremente. Uma onda na corda, ao propagar-se até uma extremidade livre, tem deslocamento máximo na extremidade em questão. Portanto, na extremidade livre, a onda apresentará um antinó ao refletir-se: o mesmo ocorre em tubos sonoros com uma extremidade aberta.
Para o caso de duas extremidades livres (e, portanto, um antinó em cada extremidade), a situação mais simples possível é a de um antinó em uma extremidade na parte superior e um segundo antinó na outra extremidade na parte inferior. Nesse caso, tem-se apenas um nó, no centro do tubo, e é verificável que . Se o número de nós da onda estacionária for aumentando, teremos as situações seguintes em que , seguida por , e assim por diante. O processo continua indefinidamente, e obtém-se, da mesma forma que para duas extremidades fixas:
Aplicando a equação acima, tem-se que, para tubos sonoros com duas extremidades abertas,
(frequências de ressonância, duas extremidades livres)
Todas as frequências da série harmônica são múltiplos inteiros da frequência fundamental, dada por
Tem-se que a velocidade do som é dada pela equação , então é possível obter a relação, apenas para tubos sonoros de duas extremidades abertas:
(frequências de ressonância, ondas sonoras, tubos de duas extremidades livres)
Numa equação mais geral, para esse caso, teremos:
(frequências de ressonância, duas extremidades livres) thumb|364x364px|Comportamento de ondas estacionárias com uma extremidade fixa e uma livre (aberta) . Em vermelho, os nós; em azul, os antinós. A figura apresenta os quatro primeiro harmônicos. Observe que:
Uma extremidade livre e uma extremidade fixa Pelo que exposto no caso anterior, nesse caso, como uma das extremidades está fixa, nela, a onda estacionária apresenta, necessariamente, um nó. Na extremidade livre ou aberta, ela deve apresentar, necessariamente, um antinó.
A configuração mais simples, para esse terceiro caso, é a que, partindo-se do nó da onda, na extremidade fixa, o próximo antinó seja justamente o da extremidade livre. Nesse caso, verifica-se que . As configurações seguintes, sempre respeitando o nó de uma extremidade e o antinó de outra, teremos , seguido de , , , e assim por diante indefinidamente. Observa-se que o comprimento de onda, nesse caso, é dado por:
A frequência de ressonância, portanto, será dada por:
(frequências de ressonância, uma extremidade fixa apenas)
Se quisermos expressar a relação entre uma frequência de ressonância qualquer e a frequência fundamental que, nesse caso, é dada por , teremos:
Da mesma forma, se estivermos tratando de tubos sonoros com uma extremidade fixa, apenas, é possível ter a relação: