Um poliedro platônico está inscrito em uma esfera, quando todos os seus vértices tangenciam a superfície da esfera.
Dizer que a esfera está circunscrita ao poliedro platônico é uma possibilidade para descrever o mesmo conceito.
Medida do raio da esfera circunscrita ao poliedro platônico Se é a medida da aresta do poliedro platônico, então é possível definir o valor do raio da esfera circunscrita ao poliedro em função de .
Tetraedro inscrito em esfera direita|miniaturadaimagem|250x250px|Tetraedro regular inscrito em esfera. Fixe como sendo a medida da aresta do tetraedro regular inscrito em uma esfera.
Seja o ponto central da esfera inscrita ao tetraedro. Logo, o segmento que se estende do ponto até um dos vértices do tetraedro será igual a medida do raio da esfera circunscrita a ele.
Sabendo que no tetraedro regular, a soma das distâncias de um ponto interior qualquer até as suas quatro faces é igual à altura do tetraedro, então vale que a soma das distâncias do ponto até cada uma das faces resulta no valor da altura do tetraedro. Logo, como cada uma dessas distâncias é igual a medida do raio da esfera inscrita, segue que
Como , então
Mas observe que, , ou seja
Cubo inscrito em esfera Seja a medida da aresta do cubo. O valor do raio da esfera circunscrita, será igual a metade do valor da diagonal do cubo. Logo, como a diagonal do cubo vale , então
Octaedro inscrito em esfera Seja a medida da aresta do octaedro regular. A medida do raio da esfera circunscrita é igual a metade do valor da diagonal do octaedro. Como a diagonal do octaedro regular vale , segue que
Dodecaedro inscrito em esfera nenhum|miniaturadaimagem|200x200px|Ilustração de dodecaedro regular inscrito em esfera. Fixe como sendo a medida da aresta de um dodecaedro regular inscrito em uma esfera. A medida do raio da esfera circunscrita é dada por .
Icosaedro inscrito em esfera nenhum|miniaturadaimagem|200x200px|Ilustração de icosaedro regular inscrito em esfera. Defina como sendo o valor da medida da aresta de um icosaedro regular inscrito em uma esfera. A medida do raio da esfera circunscrita ao poliedro é dada por .
Propriedades métricas dos poliedros platônicos Seja a medida da aresta de um poliedro. A tabela seguinte agrupa os valores do raio da esfera circunscrita, além do volume de cada poliedro em função de .
PoliedroRaio da esfera circunscritaVolumeTetraedro Cubo ou Hexaedro regular Octaedro Dodecaedro Icosaedro
Porcentagem do volume da esfera ocupado por poliedro platônico inscrito Para determinar a porcentagem do volume da esfera ocupado por um poliedro platônico inscrito a ela, pode-se utilizar a fórmula do volume do poliedro (que está fixado na tabela de propriedades métricas dos poliedros platônicos) e o raio da esfera circunscrita ao poliedro para calcular o volume da esfera circunscrita.
A fórmula utilizada para calcular o volume da esfera é:
Assim, o volume da esfera corresponderá a 100% do total e o volume do poliedro inscrito corresponderá à porcentagem ocupada que queremos descobrir (utilizaremos x).
É possível relacionar os volumes por meio da regra de três. Abaixo, seguem desenvolvidas as relações para os cinco poliedros platônicos:
Tetraedro:
Para representar o volume do tetraedro, utilizaremos , e para o volume da esfera circunscrita ao tetraedro, utilizaremos :
Assim, o volume da esfera () representa 100% e o volume do tetraedro () será representado por .
Utilizando regra de três, tem-se:
Substituindo os valores obtidos para e :
Utilizando e :
Cubo:
Fixemos para representar o volume do cubo e para representar o volume da esfera circunscrita ao cubo:
Logo, se equivale a 100% do volume, então equivale a por cento.
Novamente, por meio de regra de três:
Substituindo e :
Para e , conclui-se:
Octaedro:
Sendo o volume do octaedro representado por e o volume da esfera circunscrita ao octaedro representado por :
Como representa 100% do volume, então ocupará por cento do volume da esfera. Assim:
Novamente, substituindo e :
Utilizando :
Dodecaedro:
Agora, seja o volume do dodecaedro e o volume da esfera circunscrita ao dodecaedro:
Desse modo, representa 100% do volume e representa por cento.
Logo, com os valores obtidos para e :
Para , , e , tem-se:
.
Icosaedro:
Para representar o volume do icosaedro utilizaremos e para representar o volume da esfera circunscrita ao icosaedro utilizaremos :
Como vale 100%, então o volume de será de por cento.
Ou seja, com os valores obtidos para e :
Utilizando e :
Ainda, sendo e :
Ver também Poliedro Polígono regular
Referências
Categoria:Geometria Categoria:Sólidos platónicos