miniatura|Um astroide. miniatura|A construção do astroide. miniatura|O astroide sendo representado como um envelope comum de uma família de elipses traçadas, onde a + b = const. Um astroide é um tipo específico de curva matemática: uma hipocicloide com quatro vértices. Especificamente, é o lugar geométrico de um ponto num círculo que gira quatro vezes dentro de um círculo fixo num raio. Pela geratriz dupla, é também o lugar geométrico de um ponto num círculo, na medida em que gira dentro de um círculo fixo com o raio em 4/3 vezes. Pode igualmente ser definido como uma envoltória de um segmento de reta com um ponto de extremidade em cada um dos eixos. Por conseguinte, é a envoltória da barra móvel do Tresmalho de Arquimedes.

O nome contemporâneo deriva da palavra grega que significa "estrela". Originalmente, foi proposto na forma de "Astrois", pelo astrónomo austríaco Joseph Johann von Littrow em 1838. A curva possui vários nomes, que incluem tetracúspide (ainda utilizado), cubocicloide, e paraciclo. É praticamente similar à evoluta de uma elipse.

Equações Se o raio do círculo fixo for a, então a equação é feita por:

Isto implica que um astroide é também uma superelipse.

As equações paramétricas são:

Uma equação pedal em relação à origem é:

A equação de Whewell é:

E a equação de Cesàro é:

A equação polar é:

O astroide é um lugar geométrico real de uma curva algébrica plana de género zero. Tem a seguinte equação:

O astroide é portanto uma curva algébrica real de sexto grau.

Derivação da equação polinomial A equação polinomial pode ser derivada da equação de Leibniz através da álgebra elementar:

Em ambos os lados do cubo:

Em ambos os lados do cubo de novo:

Mas desde que:

Siga assim:

Sendo:

ou:

Propriedades métricas Uma área envolvente

Comprimento da curva

O volume da superfície de revolução da área envolvente sobre o eixo x.

A área da superfície de revolução sobre o eixo x

Propriedades O astroide tem quatro vértices nas singularidades do plano real, os pontos da estrela. Possui mais duas singularidades complexas na infinidade, e quatro pontos duplos complexos, tendo um total de dez singularidades.

A curva dupla relativa ao astroide é a curva cruciforme, com a equação: A evoluta de um astroide é duas vezes maior.

Ver também Cardioide Nefroide Curva deltoide Astroide de Stoner–Wohlfarth

Ligações externas

Categoria:Curvas algébricas