thumb|Representação de um caminho topológico entre dois pontos.
Em topologia, um caminho num espaço topológico é uma função contínua do intervalo fechado em .
Definição Formalmente, um caminho em um espaço topológico é uma função contínua . O ponto inicial do caminho é e o ponto final é . Quando os pontos inicial e final coincidem, diz-se que o caminho é fechado ou um laço (do inglês loop). Um caminho que liga um ponto a um ponto é frequentemente denotado por «caminho de a ».
É importante distinguir o conceito de caminho da sua imagem. Um caminho não é apenas um subconjunto de que se assemelha a uma curva, pois também inclui uma parametrização. Por exemplo, as funções e definidas no intervalo e com valores em são caminhos distintos, embora tenham a mesma imagem – o intervalo .
Notação e terminologia A notação mais comum para um caminho é . O domínio pode ser substituído por qualquer intervalo fechado através de uma reparametrização afim. Nesse caso, um caminho de a é uma função contínua com e .
Os seguintes termos são frequentemente utilizados: Laço (ou caminho fechado): um caminho cujo ponto inicial coincide com o ponto final (). Caminho simples: um caminho cuja restrição ao intervalo é injetiva (não há autointerseções). Arco: sinônimo de caminho em alguns contextos, especialmente quando se enfatiza a imagem.
Exemplos Em (com a topologia usual), a função define um caminho que percorre o segmento de reta entre os pontos e . A função é um laço no plano cuja imagem é a circunferência unitária . Em qualquer espaço topológico , a função constante para todo define o caminho constante no ponto . O caminho inverso de um caminho é definido por . Ele percorre a mesma imagem de , mas no sentido oposto.
Operações com caminhos Concatenação Sejam e dois caminhos em tais que o ponto final de coincide com o ponto inicial de (isto é, ). Define-se a concatenação (ou produto) como o caminho obtido percorrendo primeiro e depois . Formalmente:
A concatenação é associativa a menos de uma reparametrização (homotopia), mas não é estritamente associativa ao nível das funções.
Caminho inverso O caminho inverso de um caminho é o caminho definido por . Ele satisfaz e .
Caminho constante O caminho constante no ponto é a função para todo . Este caminho atua como elemento neutro para a concatenação (a menos de homotopia).
Homotopia de caminhos
Dois caminhos com os mesmos pontos inicial e final são ditos homotópicos (ou caminho-homotópicos) se existe uma função contínua tal que: para todo ; para todo ; e para todo .
A função é chamada uma homotopia de caminhos entre e . Intuitivamente, uma homotopia deforma continuamente um caminho no outro, mantendo os extremos fixos.
A relação « é homotópico a » é uma relação de equivalência. O conjunto das classes de equivalência de laços baseados em (isto é, caminhos fechados com ponto inicial e final ) munido da operação de concatenação forma um grupo, chamado grupo fundamental do espaço no ponto , denotado por .
Espaços conexos por caminhos
Um espaço topológico é dito conexo por caminhos (ou conexo por arcos) se para quaisquer dois pontos existe um caminho tal que e .
Todo espaço conexo por caminhos é conexo, mas a recíproca é falsa. Um exemplo clássico é o seno do topólogo, definido por , que é conexo mas não é conexo por caminhos.
A noção de conexidade por caminhos é fundamental para o estudo do grupo fundamental, pois em um espaço conexo por caminhos o grupo fundamental independe da escolha do ponto base (a menos de isomorfismo).
Aplicações O conceito de caminho é central em diversas áreas da matemática: Topologia algébrica: Os caminhos e suas classes de homotopia dão origem ao grupo fundamental, um dos invariantes algébricos mais importantes para classificar espaços topológicos. Análise complexa: A integração de funções complexas é definida ao longo de caminhos (curvas) no plano complexo. O teorema de Cauchy relaciona a integral de uma função holomorfa ao longo de um caminho fechado com propriedades topológicas da região. Geometria diferencial: As curvas parametrizadas são caminhos diferenciáveis; o estudo de geodésicas e comprimentos de arco está intimamente ligado à noção de caminho. Teoria dos grafos: Embora o termo «caminho» tenha um significado distinto (sequência de vértices adjacentes), a analogia com a topologia é evidente, e muitos resultados em grafos se inspiram em conceitos topológicos.
Ver também Espaço topológico Função contínua Homotopia Grupo fundamental Espaço conexo por caminhos Curva
Bibliografia
Ligações externas
Categoria:Topologia algébrica Categoria:Topologia (matemática)