Uma relação simétrica é um tipo de relação binária. Um exemplo é a relação "é igual a", porque se é verdadeiro, então também é verdadeiro. Formalmente, uma relação binária sobre um conjunto é simétrica se e somente se:
Se representa o inverso de , então é simétrica se e somente se .
A simetria, juntamente com a reflexividade e a transitividade, são as três propriedades definidoras de uma relação de equivalência.
Representação
Seja uma relação simétrica ou assimétrica aplicada em um conjunto , então tem uma representação particular para cada modo de descrever uma relação binária.
NotaçãoRelação simétricaRelação assimétricaComo pares ordenadosComo matriz de adjacênciaMatriz cuja transposta é tal que Matriz cuja diagonal tem apenas zeros, isto é, e também produz uma matriz simétrica.Como grafoÉ um grafo que pode ser representado como um grafo não direcionado.É um grafo direcionado sem laços ou ciclos.
Exemplos
Na matemática
"é igual a" (igualdade) (enquanto "é menor que" não é simétrico) "é comparável a", para elementos de um conjunto parcialmente ordenado. "... e ... são ímpares"
Fora da matemática
"é casado com" (na maioria dos sistemas legais) "é um irmão totalmente biológico de" "é um homófono de" "é colega de trabalho de" "é companheiro de equipe de"
Relação com relações assimétricas e antissimétricas
Por definição, uma relação não vazia não pode ser simétrica e assimétrica (onde se está relacionado a , então não pode estar relacionado a (da mesma forma)). No entanto, uma relação pode ser nem simétrica nem assimétrica, que é o caso de "é menor ou igual a" e "presa em").
Simétrica e antissimétrica (onde a única maneira que pode estar relacionado a e estar relacionado a é se ) são na verdade independentes um do outro, como esses exemplos mostram.
+Exemplos matemáticosSimétricaNão simétricaAntissimétricaigualdade"é menor ou igual a"Não antissimétricacongruência na aritmética modular"é divisível por", sobre o conjunto de inteiros
+Exemplos não matemáticosSimétricaNão simétricaAntissimétrica"é a mesma pessoa, e é casada""é o plural de"Não antissimétrica"é um irmão totalmente biológico de""presas em"
Assimétrica antissimétrica A relação simétrica não é o oposto da antissimétrica.
Existem relações que são simétricas e antissimétricas ao mesmo tempo (como igualdade), outras que não são simétricas ou antissimétricas (como divisibilidade), outras que são simétricas mas não antissimétricas (como a relação de congruência do módulo de n) e outras que são antissimétricas, mas não simétricas (como a relação "menor que").
Aspectos adicionais
Uma relação simétrica também transitiva e reflexiva é uma relação de equivalência.
Uma maneira de conceituar uma relação simétrica na teoria dos grafos é que uma relação simétrica é uma aresta, com os dois vértices da aresta sendo as duas entidades assim relacionadas. Assim, relações simétricas e grafos não direcionados são objetos combinativamente equivalentes.
Ver também
Relação de equivalência Relação reflexiva Relação transitiva Relação antissimétrica Relação assimétrica
Categoria:Teoria dos conjuntos