O pêndulo de Kater é um pêndulo reversível de oscilação livre inventado pelo físico britânico e capitão do Exército Henry Kater em 1817. Kater apresentou seu trabalho à Royal Society em 29 de janeiro de 1818. O instrumento foi concebido como gravímetro para determinar a aceleração da gravidade local. Sua principal vantagem sobre os gravímetros pendulares anteriores é permitir a determinação de g sem que seja necessário conhecer diretamente o momento de inércia do pêndulo ou a posição exata de seu centro de massa.
Durante o século XIX e o início do século XX, pêndulos reversíveis e suas variantes foram usados em medições gravimétricas e levantamentos geodésicos. Métodos de queda livre acabaram substituindo os pêndulos nas determinações absolutas modernas, mas o pêndulo de Kater e o projeto aperfeiçoado por Bessel continuam sendo usados em laboratórios didáticos para demonstrar os princípios dos pêndulos físicos e da medição de g.
Descrição Um pêndulo pode ser usado para medir a aceleração da gravidade g porque, para oscilações de pequena amplitude, quando é válida a aproximação para ângulos pequenos, seu período de oscilação T depende de g e de seu comprimento L:
Medindo-se o comprimento L e o período T, a aceleração da gravidade pode ser obtida por:
miniatura|Esquema de um pêndulo de Kater. K1 e K2 são os pontos de suspensão, G é o centro de gravidade, m1 e m2 são massas e l1 e l2 são as distâncias entre os pontos de suspensão e o centro de gravidade.
O pêndulo de Kater consiste em uma barra metálica rígida com dois pontos de pivô, um próximo de cada extremidade. Pode ser suspenso por qualquer um deles e posto em oscilação. Possui também uma massa ajustável que pode ser deslocada ao longo da barra, ou, em algumas variantes, um pivô ajustável, para modificar os períodos de oscilação. Durante o uso, o pêndulo é posto a oscilar a partir de um pivô e seu período é cronometrado. Depois é invertido, suspenso pelo outro pivô e cronometrado novamente. A massa móvel, ou o pivô, é ajustada até que os dois períodos sejam iguais. Nesse caso, desde que os dois pivôs não estejam à mesma distância do centro de massa, o período T é igual ao período de um pêndulo simples ideal cujo comprimento corresponde à distância entre os dois pivôs. A partir do período e da distância medida L entre os pivôs, a aceleração da gravidade pode ser calculada pela equação (1).
Uma expressão que permite calcular g quando os períodos medidos nos dois pontos de suspensão não são exatamente iguais é:
em que T1 e T2 são os períodos das oscilações quando o pêndulo está suspenso por K1 e K2, enquanto ℓ1 e ℓ2 são as distâncias dos dois gumes de apoio ao centro de gravidade.
Fundamento do pêndulo reversível Um pêndulo físico de massa M, momento de inércia I em relação ao eixo de suspensão e distância r entre esse eixo e o centro de gravidade tem, para pequenas oscilações, período
Seu comprimento reduzido, isto é, o comprimento do pêndulo simples de mesmo período, é
Para dois gumes de suspensão situados em lados opostos do centro de gravidade, a distâncias r1 e r2, o teorema dos eixos paralelos fornece
e
em que IG é o momento de inércia em torno de um eixo paralelo que passa pelo centro de gravidade. Se os períodos medidos nos dois gumes são iguais,
Para a solução usada na medição,
e o comprimento reduzido passa a ser
Como os gumes estão em lados opostos do centro de gravidade, r1 + r2 é a distância entre eles. Essa distância pode então substituir o comprimento de um pêndulo simples quando os dois períodos são iguais. Existe também a solução r1 = r2, na qual os períodos são iguais apenas porque os gumes estão à mesma distância do centro de gravidade. Nesse caso, a distância entre os gumes não é necessariamente o comprimento reduzido. A aplicação do método exige que se evite essa configuração simétrica.
História Medição da gravidade com pêndulos miniatura|Um pêndulo de Kater montado em seu suporte.
A primeira observação experimental clara de que a gravidade varia de um lugar para outro veio das medições do cientista francês Jean Richer, enviado em 1671 pela Académie des sciences a Caiena, na Guiana Francesa. Em 1672, Richer verificou que um relógio de pêndulo regulado em Paris atrasava cerca de 2,5 minutos por dia em Caiena. O comprimento necessário para um pêndulo de segundos era 1¼ linha parisiense, cerca de 2,8 mm, menor que em Paris.
As observações mostraram que a gravidade efetiva dependia da latitude. A rotação terrestre produz uma aceleração centrífuga cuja intensidade é maior perto do equador, enquanto a forma oblata da Terra também altera a distância à massa terrestre e a distribuição do campo gravitacional. Isaac Newton publicou em 1687 uma relação aproximada entre latitude e gravidade compatível com uma Terra oblata.
Pêndulos de oscilação livre passaram a ser levados a diferentes regiões para medir a gravidade local. O acúmulo desses dados permitiu aperfeiçoar as determinações da forma da Terra.
O uso de pêndulos era tão disseminado na época de Kater que a intensidade local da gravidade costumava ser expressa pelo comprimento do pêndulo de segundos naquele local. Esse pêndulo possui período de dois segundos, de modo que o movimento de uma extremidade à outra leva um segundo. Pela equação (1), para um pêndulo de segundos o comprimento é diretamente proporcional a g:
Imprecisão dos pêndulos gravimétricos Na época de Kater, o período T de um pêndulo podia ser medido com grande precisão por meio de relógios regulados por observações astronômicas. A precisão das medições de g era limitada pela dificuldade de determinar o outro fator, L, o comprimento equivalente do pêndulo. Na equação (1), L é o comprimento de um pêndulo simples matematicamente ideal, constituído por uma massa pontual oscilando na extremidade de um fio sem massa. O "comprimento" de um pêndulo real, um corpo rígido em oscilação chamado de pêndulo composto ou físico, é mais difícil de determinar.
Em 1673, Christiaan Huygens, em Horologium Oscillatorium, mostrou que um pêndulo físico possui o mesmo período de um pêndulo simples cujo comprimento é igual à distância entre o ponto de pivô e o centro de oscilação. Esse ponto fica além do centro de gravidade e sua posição depende da distribuição de massa do corpo. Não havia um método suficientemente preciso para localizar esse ponto em um pêndulo real. Seu cálculo exigiria conhecimento preciso da forma e da distribuição de densidade das peças do instrumento.
Para contornar o problema, pesquisadores como Jean Picard, em 1669, Charles Marie de La Condamine, em 1735, e Jean-Charles de Borda, em 1792, aproximaram um pêndulo simples usando uma esfera metálica suspensa por um fio leve. Se a massa do fio fosse desprezível, o centro de oscilação ficava próximo do centro de gravidade da esfera. Mesmo assim, localizar com precisão o centro da esfera era difícil. A esfera e o fio também não oscilavam perfeitamente como uma unidade rígida, pois a esfera adquiria um pequeno momento angular, enquanto o fio se alongava elasticamente durante a oscilação.
Solução de Kater Huygens havia demonstrado ainda que o ponto de pivô e o centro de oscilação de um pêndulo são intercambiáveis. Se o pêndulo for invertido e suspenso por seu centro de oscilação, mantém o mesmo período, e o novo centro de oscilação fica no antigo ponto de pivô. A distância entre esses dois pontos conjugados é igual ao comprimento do pêndulo simples equivalente.
Como integrante de um comitê nomeado pela Royal Society em 1816 para estudar a reforma das medidas britânicas, Kater recebeu a tarefa de determinar com precisão o comprimento do pêndulo de segundos em Londres. Ele percebeu que o princípio de Huygens permitia determinar o comprimento equivalente L de um pêndulo composto sem localizar diretamente seu centro de oscilação. Um segundo ponto de suspensão poderia ser ajustado até que o pêndulo tivesse o mesmo período quando suspenso por qualquer um dos dois pivôs. Nesse caso, um pivô ocuparia o centro de oscilação correspondente ao outro, e a distância entre eles daria o comprimento equivalente.
A ideia do pêndulo reversível precedeu o instrumento de Kater. Em 1792, Gaspard de Prony propôs o uso de um pêndulo composto com três eixos de oscilação nas discussões francesas sobre um padrão de comprimento. Em 1800, propôs um pêndulo composto reversível com gumes de apoio, mas seus trabalhos permaneceram inéditos até 1889. Johann Gottlieb Friedrich von Bohnenberger publicou em 1811 uma proposta de pêndulo reversível para determinar a gravidade absoluta. Kater chegou ao princípio de forma independente e foi o primeiro a projetar, construir e usar um instrumento desse tipo.
miniatura|400px|Desenho do pêndulo de Kater. (a) pivôs opostos em forma de gume de faca. (b) massa de ajuste fino. (c) massa de ajuste grosso. (d) peso principal. (e) ponteiros para leitura.
O pêndulo Kater construiu seu instrumento com uma haste de latão de cerca de 2 m de comprimento, 3,8 cm de largura e 3,2 mm de espessura, com uma massa em uma das extremidades. Para reduzir o atrito, usou pequenas lâminas triangulares, ou gumes de faca, presas à haste. O pêndulo era apoiado pelas lâminas sobre placas planas de ágata. Os dois pivôs ficavam voltados um para o outro e separados por cerca de 1 m, de modo que o movimento de uma extremidade da oscilação à outra levava aproximadamente um segundo quando o aparelho estava suspenso por qualquer um deles.
Kater verificou que tornar um dos pivôs ajustável introduzia imprecisões porque dificultava manter paralelos os eixos dos dois gumes. Fixou então as lâminas à haste e passou a igualar os períodos por meio de pequenas massas móveis. As variações geográficas da aceleração da gravidade são pequenas em comparação com o próprio valor de g, de modo que bastava deslocar essas massas por distâncias relativamente curtas. Mover uma massa em direção a um pivô diminuía o período quando o instrumento estava suspenso por esse pivô e aumentava o período quando estava suspenso pelo outro. A separação entre os dois gumes precisava ser medida com grande precisão apenas uma vez.
Procedimento experimental O instrumento era pendurado em um suporte de parede com um dos gumes apoiado sobre duas pequenas placas horizontais de ágata e colocado diante de um relógio de pêndulo de precisão. Primeiro eram cronometradas as oscilações em torno de um dos pivôs. O aparelho era então invertido e as oscilações em torno do outro pivô eram medidas. A pequena massa de ajuste era deslocada e o procedimento era repetido até que os períodos fossem iguais.
Kater realizou 12 ensaios em junho e julho de 1817. O período foi determinado pelo método das coincidências, no qual se mediam os intervalos entre os momentos em que o pêndulo de Kater e o pêndulo do relógio passavam simultaneamente pela mesma fase da oscilação. A distância entre os gumes foi medida com um comparador microscópico com resolução da ordem de 2,5 μm.
Como em outras medições gravimétricas pendulares, eram necessárias pequenas correções para:
a amplitude finita da oscilação, que aumenta o período em relação ao limite de pequenos ângulos; a temperatura, que altera o comprimento da haste por dilatação térmica; a pressão atmosférica e o empuxo do ar; a altitude da estação, pois a aceleração gravitacional varia com a distância ao centro da Terra.
Os resultados eram reduzidos a condições de referência, entre elas o nível do mar e o vácuo.
Kater expressou seu resultado como o comprimento do pêndulo de segundos. No trabalho de 1818, obteve, depois das correções, cerca de 0,994120 m para o pêndulo de segundos solar em Londres, ao nível do mar, a 16,7 °C e no vácuo. Esse comprimento corresponde a g ≈ 9,81158 m/s2. O maior desvio de seus resultados em relação à média foi de cerca de 7,1 μm, correspondente a uma incerteza gravimétrica da ordem de 7 mGal.