Richard Streit Hamilton (Cincinnati, – 29 de setembro de 2024) foi um matemático estadunidense.
Ficou conhecido por ter contribuido para a demonstração da conjectura de Poincaré. Biografia Hamilton recebeu seu bacharelado em 1963 pela Universidade Yale e Ph.D. em 1966 pela Universidade de Princeton. Robert Gunning supervisionou sua tese. Hamilton lecionou na Universidade da Califórnia, Irvine, na Universidade da Califórnia, San Diego, na Universidade Cornell e na Universidade Columbia.
Suas contribuições matemáticas se deram principalmente nos campos da geometria diferencial e, mais especificamente, da análise geométrica. Ele é mais conhecido por ter descoberto o fluxo de Ricci e por ter iniciado um programa de pesquisa que levou à prova, por Grigori Perelman, da conjectura da geometrização de Thurston e à consequente solução da conjectura de Poincaré.
Prêmios e reconhecimentos Em agosto de 2006, Perelman recebeu, mas recusou, a Medalha Fields por sua prova, citando em parte o trabalho de Hamilton como sendo fundamental.
Hamilton recebeu:
O Prêmio Oswald Veblen de Geometria em 1996. O Clay Research Award em 2003. Foi eleito para a Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos em 1999. Foi eleito para a Academia Americana de Artes e Ciências em 2003. Recebeu o Prêmio Leroy P. Steele de Contribuição Seminal à Pesquisa em 2009.
Em 18 de março de 2010, foi anunciado que Perelman havia cumprido os critérios para receber o primeiro Prêmio Clay Millennium por sua prova da conjectura de Poincaré. Em 1º de julho de 2010, Perelman recusou o prêmio, dizendo acreditar que sua contribuição para provar a conjectura de Poincaré não era maior que a de Hamilton, que primeiro sugeriu um programa para a solução.
Em junho de 2011, foi anunciado que o Prêmio Shaw, de um milhão de dólares, seria dividido igualmente entre Hamilton e Demetrios Christodoulou por seus trabalhos altamente inovadores em equações diferenciais parciais não lineares na geometria lorentziana e riemanniana e suas aplicações à relatividade e topologias gerais.
Morte Hamilton morreu no dia 29 de setembro de 2024, aos 81 anos.
Trabalho matemático Hamilton foi autor de quarenta e seis artigos de pesquisa, a maioria dos quais na área de fluxos geométricos.
Desigualdades de Harnack para equações do calor Em 1986, Peter Li e Shing-Tung Yau descobriram um novo método para aplicar o princípio do máximo no controle das soluções da equação do calor. Seus resultados assumem a forma de afirmar a não negatividade de certas combinações de derivadas parciais de uma solução positiva da equação do calor. Essas desigualdades, conhecidas como desigualdades de Harnack diferenciais ou desigualdades de Li–Yau, são úteis pois podem ser integradas ao longo de caminhos para comparar os valores da solução em quaisquer dois pontos do espaço-tempo. Em 1993, Hamilton mostrou que os cálculos de Li e Yau podiam ser estendidos, demonstrando que sua desigualdade de Harnack diferencial era consequência de uma desigualdade mais forte que afirma a não negatividade de uma função com valores matriciais. Seu resultado exigia a hipótese mais forte de que a variedade riemanniana fechada subjacente tem curvatura seccional não negativa e tensor de Ricci paralelo (como o toro plano ou a métrica de Fubini-Study no espaço projetivo complexo). Tais desigualdades matriciais são às vezes conhecidas como desigualdades de Li–Yau–Hamilton.
Hamilton também descobriu que os cálculos de Li e Yau eram diretamente transferíveis para derivar desigualdades de Harnack para a curvatura escalar ao longo de um fluxo de Ricci positivamente curvo em uma variedade fechada bidimensional. Com mais esforço, ele conseguiu formular um análogo de sua estimativa matricial no caso do tensor de curvatura de Riemann ao longo de um fluxo de Ricci em dimensões gerais, desde que o operador curvatura seja não negativo. Como corolário algébrico importante, os valores da curvatura escalar em dois pontos espaço-temporais diferentes podem ser comparados. Este fato é extensivamente usado nos estudos posteriores de Hamilton e Perelman sobre o fluxo de Ricci.
Hamilton posteriormente adaptou sua estimativa de Li–Yau para o fluxo de Ricci ao contexto do fluxo de curvatura média, que é ligeiramente mais simples pois a geometria é governada pela segunda forma fundamental, que tem uma estrutura mais simples que o tensor de curvatura de Riemann. O teorema de Hamilton, que exige convexidade estrita, é naturalmente aplicável a certas singularidades do fluxo de curvatura média devido às estimativas de convexidade de Gerhard Huisken e Carlo Sinestrari.
Teorema de Nash–Moser Em 1956, John Nash resolveu o problema de imergir isometricamente e de forma suave variedades riemannianas no espaço euclidiano. O cerne de sua demonstração foi um novo resultado de "pequena perturbação", mostrando que se uma métrica riemanniana pudesse ser imersa isometricamente de certa maneira, então qualquer métrica riemanniana próxima também poderia ser imersa isometricamente. Tal resultado é altamente reminiscente de um teorema da função implícita, e muitos autores tentaram colocar a lógica da demonstração no contexto de um teorema geral. Tais teoremas são agora conhecidos como teoremas de Nash–Moser.
Em 1982, Hamilton publicou sua formulação do raciocínio de Nash, lançando o teorema no contexto dos espaços de Fréchet dóceis; o uso fundamental que Nash fez da restrição da transformada de Fourier para regularizar funções foi abstraído por Hamilton para o contexto de sequências exponencialmente decrescentes em espaços de Banach. Sua formulação tem sido amplamente citada e usada desde então. Ele próprio a usou para provar um teorema geral de existência e unicidade para equações de evolução geométrica; o teorema da função implícita padrão geralmente não se aplica em tais contextos devido às degenerescências introduzidas pela invariância sob a ação do grupo dos difeomorfismos. Em particular, o problema bem-posto do fluxo de Ricci segue do resultado geral de Hamilton. Embora Dennis DeTurck tenha dado uma demonstração mais simples no caso particular do fluxo de Ricci, o resultado de Hamilton tem sido usado para alguns outros fluxos geométricos para os quais o método de DeTurck é inacessível.
Fluxo do calor de aplicações harmônicas Em 1964, James Eells e Joseph Sampson iniciaram o estudo do fluxo do calor de aplicações harmônicas, usando um teorema de convergência para o fluxo a fim de mostrar que qualquer aplicação suave de uma variedade fechada para uma variedade fechada de curvatura não positiva pode ser deformada em uma aplicação harmônica. Em 1975, Hamilton considerou o problema de valor de contorno correspondente para esse fluxo, provando um resultado análogo ao de Eells e Sampson para a condição de Dirichlet e a condição de Neumann. A natureza analítica do problema é mais delicada nesse contexto, pois a aplicação fundamental do princípio do máximo à fórmula parabólica de Bochner não pode ser trivialmente realizada, devido ao fato de que o tamanho do gradiente na fronteira não é automaticamente controlado pelas condições de contorno.
Por meio de um procedimento de limite, Richard Schoen e Shing-Tung Yau usaram o teorema de Hamilton para provar que qualquer aplicação de energia finita de uma variedade riemanniana completa para uma variedade riemanniana fechada de curvatura não positiva pode ser deformada em uma aplicação harmônica de energia finita. Com o uso de tais aplicações, eles conseguiram derivar vários corolários puramente geométricos, como restrições sobre a topologia de subconjuntos abertos pré-compactos com fronteira simplesmente conexa no interior de variedades riemannianas completas de curvatura de Ricci não negativa.
Fluxo de curvatura média Em 1986, Hamilton e Michael Gage aplicaram o teorema de Nash–Moser de Hamilton e o resultado de problema bem-posto para equações parabólicas a fim de provar o problema bem-posto para o fluxo de curvatura média; eles consideraram o caso geral de uma família a um parâmetro de imersões de uma variedade fechada em uma variedade riemanniana suave. Em seguida, eles se especializaram no caso de imersões do círculo no plano euclidiano, que é o contexto mais simples para o fluxo de encurtamento de curvas. Usando o princípio do máximo aplicado à distância entre dois pontos em uma curva, eles provaram que se a imersão inicial é um embedding, então todas as imersões futuras no fluxo de curvatura média também são embeddings. Além disso, a convexidade das curvas é preservada no futuro.
O principal resultado de Gage e Hamilton é que, dado qualquer círculo suavemente mergulhado no plano que seja convexo, o fluxo de curvatura média correspondente existe por uma quantidade finita de tempo e, à medida que o tempo se aproxima de seu valor máximo, as curvas se tornam assintoticamente cada vez menores e circulares. Eles fizeram uso de resultados anteriores de Gage, bem como de alguns resultados especiais para curvas, como a desigualdade de Bonnesen.
Em 1987, Matthew Grayson provou um resultado complementar, mostrando que para qualquer círculo suavemente mergulhado no plano, o fluxo de curvatura média correspondente eventualmente se torna convexo. Em combinação com o resultado de Gage e Hamilton, tem-se essencialmente uma descrição completa do comportamento assintótico do fluxo de curvatura média de círculos mergulhados no plano. Este resultado, às vezes conhecido como teorema de Gage–Hamilton–Grayson, diz que o fluxo de encurtamento de curvas fornece meios sistemáticos e geometricamente definidos de deformar um círculo mergulhado arbitrário no plano euclidiano em um círculo redondo.
O entendimento moderno dos resultados de Gage–Hamilton e de Grayson geralmente trata ambos os contextos simultaneamente, sem a necessidade de mostrar que curvas arbitrárias se tornam convexas e estudar separadamente o comportamento de curvas convexas. Seus resultados também podem ser estendidos para contextos diferentes do fluxo de curvatura média.
Fluxo de Ricci Hamilton estendeu o princípio do máximo para equações diferenciais parciais parabólicas ao contexto de 2-tensores simétricos que satisfazem uma equação diferencial parcial parabólica. Ele também colocou isso no contexto geral de uma seção dependente de parâmetro de um fibrado vetorial sobre uma variedade fechada que satisfaz uma equação do calor, fornecendo formulações fortes e fracas.
Em parte devido a esses desenvolvimentos técnicos fundamentais, Hamilton foi capaz de dar um entendimento essencialmente completo de como o fluxo de Ricci deforma variedades riemannianas fechadas que são tridimensionais com curvatura de Ricci positiva ou curvatura de Ricci não negativa, quadridimensionais com operador curvatura positivo ou não negativo, e bidimensionais de característica de Euler não positiva ou de curvatura positiva. Em cada caso, após normalizações apropriadas, o fluxo de Ricci deforma a métrica riemanniana dada em uma métrica de curvatura constante. Isso tem corolários imediatos de alta significância na geometria diferencial, como o fato de que qualquer 3-variedade suave fechada que admite uma métrica riemanniana de curvatura positiva também admite uma métrica riemanniana de curvatura seccional positiva constante. Tais resultados são notáveis por restringir altamente a topologia de tais variedades; as formas espaciais de curvatura positiva são amplamente compreendidas. Há outros corolários, como o fato de que o espaço topológico das métricas riemannianas de curvatura de Ricci positiva em uma 3-variedade suave fechada é conexo por caminhos. Entre outros desenvolvimentos posteriores, esses teoremas de convergência de Hamilton foram estendidos por Simon Brendle e Richard Schoen em 2009 para fornecer uma demonstração do teorema da esfera diferenciável, que era uma grande conjectura na geometria riemanniana desde a década de 1960.