Em matemática, mais especificamente em topologia geral, o conceito de compacidade é uma extensão topológica das ideias de finitude e limitação. O início do estudo de espaços compactos se deu no final do século XIX, pelas mãos de Émile Borel e Henri Lebesgue e as observações acerca de intervalos fechados e limitados da reta real. Com o advento de novas classes de espaços topológicos (espaços de funções, espaços definidos em termos de vizinhanças e espaços métricos) a noção de compacidade modificou-se para acompanhar as generalizações; passando por sequencialmente compacto, enumeravelmente compacto (Riesz - 1908, Vietoris - 1912, Janiszewski - 1913, Kuratowski, Sierpiński e Saks - 1921) e finalmente chegando na definição empregada hoje (Alexandrof e Urysohn - 1923).

Definição e Equivalências

Um recobrimento para um conjunto é uma coleção de subconjuntos de tal que . Um subrecobrimento de é uma coleção que também é um recobrimento de , i.e. .

Diz-se que um espaço topológico é compacto se possuir a propriedade de Hausdorff e qualquer recobrimento por abertos de admitir um subrecobrimento finito. O leitor deve estar atento que a escola americana define espaço compacto como espaços em que todo recobrimento por abertos (do espaço em questão) admite subrecobrimento finito, o que é chamado de quase-compacto. A definição usando a Espaço Hausdorff é uma característica das escolas francesa, polonesa e russa.

Uma família de subconjuntos de um conjunto possui a propriedade da intersecção finita (abreviadamente, p.i.f.) se, para qualquer finita, verificar . É passivo de verificação que, um espaço topológico é (quase-)compacto se, e somente se, qualquer família de fechados de com a p.i.f. possuir intersecção não vazia.

Uma base para um espaço topológico é uma coleção de abertos de tal que, para qualquer aberto , existe tal que . Uma subbase para é uma coleção não-vazia de abertos desse espaço tal que

é uma base de . É um resultado devido a James Waddell Alexander II que um espaço topológico é (quase-)compacto se, e somente se, qualquer recobrimento de por abertos de uma subbase desse espaço admitir um subrecobrimento finito.

Se é um espaço topológico, diz-se que um ponto é um ponto de acumulação total de um subconjunto se, dada qualquer vizinhança de , . É um resultado devido a Vietoris, Kuratowski, Sierpinski, Alexandroff e Urysohn que as seguintes afirmações são equivalentes é compacto; Qualquer subconjunto infinito de possui um ponto de acumulação completo; Dada qualquer sequência transfinita -decrescente de fechados não-vazios de , a intersecção é não-vazia.

É um resultado devido a Kuratowski, Mrówka e Bourbaki que as seguintes afirmações, acerca do espaço , são equivalentes: X é (quase-)compacto; Para qualquer espaço a projeção é fechada; Para qualquer espaço normal a projeção é fechada.

Em termos de convergência em um espaço Hausdorff , é possível observar a equivalência das seguintes afirmações:

é (quase-)compacto; Qualquer filtro em admitir um ponto de acumulação; Qualquer rede em admitir um ponto de acumulação.

Exemplos

Qualquer espaço finito é quase-compacto; Qualquer espaço carregando topologia cofinita é quase-compacto. A topologia de ordem direita e a topologia de ordem esquerda em um conjunto totalmente ordenado e limitado são (quase-)compactas. Qualquer conjunto fechado e limitado de um espaço euclididano () é compacto. Qualquer compacto da Reta de Sorgenfrey é enumerável.

Propriedades Qualquer fechado em espaço quase-compacto é quase-compacto; Qualquer compacto é um espaço normal; Todo subspaço compacto de um espaço Hausdorff é fechado; Uma imagem contínua de espaços compactos é compacto. Toda bijeção contínua de um espaço compacto em um espaço Hausdorff é um homeomorfismo; A união finita de espaços (quase-)compactos é (quase-)compacto. (Teorema de Tychonoff) O produto qualquer de espaços (quase-)compactos é (quase-)compacto. Toda função contínua de em definida num compacto é uniformemente contínua.

Ver também Espaço sequencialmente compacto Espaço enumeravelmente compacto Paracompacidade Espaço de Lindelöf Compactificação

Bibliografia

Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN 3885380064.

Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).

. . . . (Purely analytic proof of the theorem that between any two values which give results of opposite sign, there lies at least one real root of the equation).

. . . . . . . . . . .

Ligações externas

Categoria:Topologia (matemática)