A fórmula de soma de Poisson (às vezes chamada de retomada de Poisson ) é uma identidade entre duas somas infinitas, a primeira construída com uma função , a segunda com sua transformada de Fourier . Aqui, é uma função na linha real ou mais geralmente em um espaço euclidiano . A fórmula foi descoberta por Siméon Denis Poisson . Ela, e suas generalizações, são importantes em várias áreas da matemática, incluindo teoria dos números, análise harmônica e geometria Riemanniana . Uma das maneiras de interpretar a fórmula unidimensional é ver uma relação entre o espectro do operador Laplace-Beltrami no círculo e os comprimentos da geodésica periódica nessa curva. A fórmula dos traços de Selberg, na interface de todos os domínios mencionados acima e também da análise funcional, estabelece uma relação do mesmo tipo, mas com um caráter muito mais profundo, entre o espectro Laplaciano e os comprimentos da geodésica na região de superfícies com curvatura constante negativa (enquanto as fórmulas de Poisson na dimensão estão relacionadas ao Laplaciano e à geodésica periódica dos toros, espaços de curvatura zero).

Fórmula do somatório de Poisson

Convenção Para qualquer função a valores complexos e integrados em ℝ, é chamada transformada de Fourier de a aplicação definido por

Teorema Seja número real positivo e

Se é uma função contínua de ℝ in ℂ e integrável de modo que

, , ,

e

então

Demonstração O lado esquerdo da fórmula é a soma S de uma série de funções contínuas. A primeira das duas hipóteses em implica que esta série normalmente converge para qualquer parte delimitada de ℝ. Portanto, sua soma é uma função contínua. Além disso, S é periódico por definição. Podemos, portanto, calcular os coeficientes complexos de sua série de Fourier:

A reversão integral em série sendo justificada pela convergência normal da série que define S. Deduzimos

De acordo com a segunda hipótese em , a série de cm é, portanto, absolutamente convergente . Somando a série Fourier de S, obtemos

Convenção alternativa Se as seguintes convenções forem usadas :

então a fórmula da soma de Poisson é reescrita (com e ) :

Sobre as condições de convergência Uma maneira prática de superar as condições de regularidade impostas à função é colocar-se no contexto mais geral da teoria das distribuições . Se notarmos a distribuição Dirac, se introduzirmos a seguinte distribuição : uma maneira elegante de reformular a soma é dizer que é sua própria transformação de Fourier.

Aplicações da retomada de Poisson Os exemplos mais básicos dessa fórmula são usados para determinar somas simples de números inteiros : ou mesmo : Nós os convertemos em séries geométricas que podem ser somadas com precisão.

Em geral, a retomada de Poisson é útil na medida em que uma série que converge lentamente no espaço direto pode ser transformada em uma série que converge muito mais rapidamente no espaço de Fourier (se usarmos o exemplo de Funções gaussianas, uma lei normal de grande variação no espaço direto é convertida em uma lei normal de pequena variação no espaço de Fourier). Essa é a ideia essencial por trás da soma de Ewald .

Interpretação geométrica

Definições O círculo, ou toro T em uma dimensão, é uma curva compacta que pode ser representada como o espaço quociente da linha euclidiana ℝ por um subgrupo discreto a ℤ do grupo das isométricas :

Geodésicas periódicas As geodésicas periódicas do toro plano tem comprimentos dados por:

Espectro do operador Laplace-Beltrami Considere o operador Laplace-Beltrami em T : Vamos procurar em particular seus autovalores , soluções da equação com autovalores : onde as funções próprias estão e verifique a condição da periodicidade : Esses autovalores formam um todo contável que pode ser classificado em uma sequência crescente :

Generalizações Podemos facilmente formular uma generalização dessa fórmula na dimensão . Dada uma rede então podemos definir a rede dupla (como formas no espaço vetorial duplo com valores inteiros em ou através da dualidade de Pontryagin ). Portanto, se considerarmos a distribuição de Dirac multidimensional, ainda notamos com , podemos definir a distribuição Desta vez, obtemos uma fórmula de soma de Poisson observando que a transformada de Fourier de é (considerando uma normalização apropriada da transformação de Fourier).

Essa fórmula é frequentemente usada na teoria das funções teta. Na teoria dos números, podemos generalizar ainda mais essa fórmula no caso de um grupo abeliano localmente compacto . Na análise harmônica não comutativa, essa ideia é levada ainda mais longe e leva à fórmula dos traços de Selberg e assume um caráter muito mais profundo.

Um caso especial é o de grupos abelianos finitos, para os quais a fórmula da soma de Poisson é imediata ( cf. Análise harmônica em um grupo abeliano finito ) e tem muitas aplicações teóricas em aritmética e aplicada, por exemplo, em teoria de códigos e criptografia ( cf. Função booleana ).

Bibliografia

Matthew R. Watkins, « D. Bump's notes on the Poisson Summation Formula » (page personnelle)

Categoria:Teoremas em análise Categoria:Teoria analítica dos números Categoria:Análise complexa Categoria:Análise harmônica