thumb|300px|right|Uma superfície aberta com curvas de nível em x, y e z.
Na topologia, uma superfície é uma variedade bidimensional. Algumas superfícies surgem como fronteiras de sólidos tridimensionais; por exemplo, a esfera é a fronteira da bola sólida. Outras superfícies surgem como gráficos de funções de duas variáveis (veja a figura à direita). No entanto, as superfícies também podem ser definidas de forma abstrata, sem referência a qualquer espaço ambiente. Por exemplo, a garrafa de Klein é uma superfície que não pode ser embutida no espaço euclidiano tridimensional.
Superfícies topológicas são por vezes dotadas de estruturas adicionais, como uma métrica riemanniana ou uma estrutura complexa, que as conectam a outras disciplinas da matemática, como a geometria diferencial e a análise complexa. As várias noções matemáticas de superfície podem ser usadas para modelar superfícies no mundo físico.
Em geral
Na matemática, uma superfície é uma forma geométrica que se assemelha a um plano deformado. Os exemplos mais familiares surgem como fronteiras de objetos sólidos no espaço euclidiano tridimensional ordinário R3, como as esferas. A definição exata de uma superfície pode depender do contexto. Tipicamente, na geometria algébrica, uma superfície pode cruzar a si mesma (e conter outras singularidades), enquanto, na topologia e na geometria diferencial, isso geralmente não é permitido.
Uma superfície é um espaço bidimensional; isso significa que um ponto móvel em uma superfície pode se mover em duas direções independentes (possui dois graus de liberdade). Em outras palavras, ao redor de quase todos os pontos, há uma vizinhança de coordenadas na qual um sistema de coordenadas bidimensional está definido. Por exemplo, a superfície da Terra assemelha-se (idealmente) a uma esfera bidimensional, e a latitude e a longitude fornecem coordenadas bidimensionais sobre ela (exceto nos polos e ao longo do meridiano 180°).
O conceito de superfície é amplamente utilizado na física, na engenharia, na computação gráfica e em muitas outras áreas, principalmente na representação de objetos físicos. Por exemplo, na análise das propriedades aerodinâmicas de um avião, o aspecto central é o fluxo de ar ao longo de sua superfície.
Definições e primeiros exemplos Uma superfície (topológica) é um espaço topológico no qual cada ponto possui uma vizinhança aberta homeomorfa a algum conjunto aberto do plano euclidiano E2. Essa vizinhança, juntamente com o homeomorfismo correspondente, é denominada uma carta (de coordenadas). É por meio dessa carta que a vizinhança herda as coordenadas padrão do plano euclidiano. Essas coordenadas são chamadas de coordenadas locais e tais homeomorfismos levam à descrição das superfícies como sendo localmente euclidianas.
Na maioria dos textos sobre o tema, assume-se frequentemente, de forma explícita ou implícita, que, enquanto espaço topológico, uma superfície é não vazia, segundo-contável e de Hausdorff. Também se assume com frequência que as superfícies em consideração são conexas.
O restante deste artigo assumirá, a menos que especificado em contrário, que uma superfície é não vazia, de Hausdorff, segundo-contável e conexa.
Mais geralmente, uma superfície (topológica) com bordo é um espaço topológico de Hausdorff no qual cada ponto possui uma vizinhança aberta homeomorfa a algum subconjunto aberto do fecho do semiplano superior H2 em C. Esses homeomorfismos também são chamados de cartas (de coordenadas). A fronteira do semiplano superior é o eixo x. Um ponto da superfície mapeado por uma carta no eixo x é denominado um ponto de bordo (ou ponto de fronteira). A coleção de tais pontos é chamada de bordo (ou fronteira) da superfície, que é necessariamente uma variedade unidimensional, isto é, a união de curvas fechadas. Por outro lado, um ponto mapeado estritamente acima do eixo x é um ponto interior. A coleção dos pontos interiores constitui o interior da superfície, que é sempre não vazio. O disco fechado é um exemplo simples de superfície com bordo; seu bordo é uma circunferência.
O termo superfície, quando usado sem qualificação adicional, refere-se a superfícies sem bordo. Em particular, uma superfície com bordo vazio é uma superfície no sentido usual. Uma superfície compacta e sem bordo é denominada uma superfície 'fechada'. A esfera bidimensional, o toro bidimensional e o plano projetivo real são exemplos de superfícies fechadas.
A fita de Möbius é uma superfície na qual a distinção entre sentido horário e anti-horário pode ser definida localmente, mas não globalmente. Em geral, diz-se que uma superfície é orientável se não contiver uma cópia homeomorfa da fita de Möbius; intuitivamente, ela possui dois "lados" distintos. Por exemplo, a esfera e o toro são orientáveis, enquanto o plano projetivo real não é (já que o plano projetivo real com um ponto removido é homeomorfo à fita de Möbius aberta).
Na geometria diferencial e algébrica, estruturas adicionais são adicionadas à topologia da superfície. Essa estrutura acrescentada pode ser uma estrutura diferenciável (permitindo definir funções diferenciáveis sobre a superfície), uma métrica riemanniana (permitindo definir distâncias, comprimentos e ângulos), uma estrutura complexa (tornando possível definir funções holomorfas — caso em que a superfície é denominada uma superfície de Riemann) ou uma estrutura algébrica (permitindo identificar singularidades, como autointerseções e cúspides, que não podem ser descritas apenas pela topologia subjacente).
Superfícies definidas extrinsecamente e mergulhos left|thumb|250px|Uma esfera pode ser definida parametricamente (por x = r sen θ cos φ, y = r sen θ sen φ, z = r cos θ) ou implicitamente (por ).
Historicamente, as superfícies foram inicialmente definidas como subespaços de espaços euclidianos. Com frequência, essas superfícies eram o lugar geométrico dos zeros de determinadas funções, em geral polinomiais. Tal definição considerava a superfície como parte de um espaço ambiente maior (euclidiano), sendo por isso denominada extrínseca.
Na seção anterior, uma superfície é definida como um espaço topológico com propriedades intrínsecas (espaço de Hausdorff e localmente euclidiano), sem ser tratada a priori como subespaço de outro espaço. Nesse sentido, a definição moderna adotada pelos matemáticos é intrínseca.
Uma superfície definida intrinsecamente não precisa satisfazer a restrição de ser um subespaço do espaço euclidiano. Poderia parecer plausível que certas superfícies abstratas não pudessem ser realizadas extrinsecamente. No entanto, o teorema do mergulho de Whitney estabelece que toda superfície pode, de fato, ser homeomorficamente embutida no espaço euclidiano, mais especificamente em E4: as abordagens intrínseca e extrínseca revelam-se equivalentes.
Com efeito, qualquer superfície compacta que seja orientável ou que possua bordo pode ser embutida em E3; por outro lado, o plano projetivo real, que é compacto, não orientável e sem bordo, não pode ser embutido em E3. As superfícies de Steiner, incluindo a superfície de Boy, a superfície romana e o cross-cap, são modelos do plano projetivo real em E3, mas apenas a superfície de Boy é uma superfície imersa. Todos esses modelos apresentam singularidades nos pontos em que interceptam a si mesmos.
A esfera com chifres de Alexander é um conhecido mergulho patológico da 2-esfera na 3-esfera.
right|thumb|Um toro com nó. O mergulho escolhido de uma superfície em outro espaço é considerado uma informação extrínseca; não é essencial à estrutura topológica da superfície em si. Por exemplo, um toro pode ser embutido em E3 da forma "padrão" (semelhante a uma rosquinha) ou de forma atada por um nó (veja a figura). Os dois toros embutidos são homeomorfos entre si, mas não são isotópicos: são topologicamente equivalentes, mas seus mergulhos não são equivalentes no espaço ambiente.
A imagem de uma função contínua e injetiva de R2 em um espaço de dimensão superior Rn é chamada de superfície paramétrica. Uma superfície paramétrica não precisa ser necessariamente uma superfície topológica regular. Uma superfície de revolução pode ser vista como um tipo particular de superfície paramétrica.
Se f é uma função suave de R3 em R cujo gradiente não se anula em nenhum ponto, o lugar geométrico dos zeros de f define uma superfície, conhecida como superfície implícita. Se a condição de gradiente não nulo for abandonada, o conjunto de zeros pode apresentar singularidades.
Construção a partir de polígonos Toda superfície fechada pode ser construída a partir de um polígono orientado com um número par de lados, chamado de polígono fundamental da superfície, pela identificação aos pares de suas arestas. Por exemplo, em cada polígono abaixo, colar os lados com letras correspondentes (A com A, B com B), de modo que as setas apontem na mesma direção, produz a superfície indicada.
Qualquer polígono fundamental pode ser escrito simbolicamente da seguinte maneira: parte-se de um vértice qualquer e percorre-se o perímetro do polígono em um dos sentidos até retornar ao vértice inicial. Durante esse percurso, registra-se o rótulo de cada aresta em ordem, atribuindo um expoente -1 se a aresta apontar no sentido oposto ao percurso. Os quatro modelos acima, percorridos no sentido horário a partir do canto superior esquerdo, fornecem:
Esfera: Plano projetivo real: Toro: Garrafa de Klein:
Observe que a esfera e o plano projetivo podem ser realizados como quocientes de um 2-gomo (dígon), enquanto o toro e a garrafa de Klein exigem um 4-gomo (quadrado).
A expressão derivada de um polígono fundamental constitui a única relação em uma apresentação do grupo fundamental da superfície, tendo os rótulos das arestas do polígono como geradores. Esse resultado é uma consequência do teorema de Seifert-van Kampen.
A colagem de arestas de polígonos é um caso particular de espaço quociente. O conceito de quociente pode ser aplicado em maior generalidade para obter construções alternativas de superfícies. Por exemplo, o plano projetivo real pode ser obtido como o quociente da esfera pela identificação de todos os pares de pontos antípodas. Outro exemplo fundamental de quociente é a soma conexa.
Somas conexas A soma conexa de duas superfícies M e N, denotada por M # N, é obtida removendo-se um disco aberto de cada uma delas e colando-as ao longo das circunferências de bordo resultantes. A característica de Euler de é a soma das características de Euler das superfícies originais, subtraída de duas unidades:
A esfera S atua como elemento neutro para a soma conexa, ou seja, . Isso ocorre porque remover um disco da esfera deixa outro disco, que simplesmente preenche o disco removido de M durante a colagem.
A soma conexa com o toro T também é descrita como a adição de uma "asa" (ou "alça") à superfície M. Se M é orientável, então também é orientável. A soma conexa é uma operação associativa, de modo que a soma conexa de uma coleção finita de superfícies está bem definida.
A soma conexa de dois planos projetivos reais, , é a garrafa de Klein K. A soma conexa de um plano projetivo real com uma garrafa de Klein é homeomorfa à soma conexa do plano projetivo real com o toro; em fórmula: . Consequentemente, a soma conexa de três planos projetivos reais é homeomorfa à soma conexa de um plano projetivo real com um toro. Qualquer soma conexa que envolva pelo menos um plano projetivo real é não orientável.
Superfícies fechadas
Uma superfície fechada é uma superfície que é compacta e sem bordo. Exemplos de superfícies fechadas incluem a esfera, o toro e a garrafa de Klein. Exemplos de superfícies não fechadas incluem o disco aberto (uma esfera com um ponto removido), o cilindro aberto (uma esfera com dois pontos removidos) e a fita de Möbius.