direita|miniaturadaimagem|Representação de um modelo de parâmetros concentrados, composto de uma fonte de tensão e um resistor. O modelo de parâmetros concentrados (também chamado de modelo de elementos concentrados ou modelo de componentes concentrados) simplifica a descrição do comportamento de sistemas físicos distribuídos espacialmente em uma topologia que consiste em entidades discretas que aproximam o comportamento do sistema distribuído sob certas premissas. É útil em sistemas elétricos (incluindo eletrônica), sistemas mecânicos de múltiplos corpos, transferência de calor, acústica, etc.

Matematicamente falando, a simplificação reduz o espaço de estadosdo sistema para uma dimensão finita e as equações diferenciais parciais (EDPs) do modelo de tempo e espaço contínuo (de dimensões infintas) do sistema físico para equações diferenciais ordinárias (EDOs) com um número finito de parâmetros.

Sistemas elétricos

Disciplina de matéria concentrada A disciplina de matéria concentrada é um conjunto de premissas impostas em engenharia elétrica que fornece a base para a abstração de circuitos concentrados usada na análise de circuitos.Anant Agarwal and Jeffrey Lang, course materials for 6.002 Circuits and Electronics, Spring 2007. MIT OpenCourseWare (PDF), Massachusetts Institute of Technology. As restrições auto-impostas são:

1 A variação do fluxo magnético no tempo fora de um condutor é zero.

2) A variação da carga no tempo dentro dos elementos condutores é zero.

3) As escalas de tempo dos sinais de interesse são muito maiores que o atraso de propagação das ondas eletromagnéticas no elemento concentrado.

As duas primeiras premissas resultam nas leis de circuito de Kirchhoff quando aplicadas às equações de Maxwell e só são aplicáveis quando o circuito está em estado estacionário . A terceira premissa é a base do modelo de elementos concentrados usado na análise de circuitos. Premissas menos severas resultam no modelo de parâmetros distribuídos, embora ainda não exijam a aplicação direta das equações de Maxwell completas.

Modelo com elementos concentrados O modelo de parâmetros concentrados de circuitos eletrônicos assume a simplificação de que os atributos do circuito, resistência, capacitância, indutância e ganho estão concentrados em componentes elétricos idealizados; resistores, capacitores e indutores, etc. unidos por uma rede de fios perfeitamente condutores.

O modelo de elementos concentrados é válido sempre que , Onde denota o comprimento característico do circuito e denota o comprimento de onda operando no circuito. Caso contrário, se o tamanho do circuito estiver na ordem de um comprimento de onda, devemos considerar modelos mais genéricos, como o modelo de parâmetros distribuídos (incluindo linhas de transmissão), cujo comportamento dinâmico é descrito pelas equações de Maxwell . Outra maneira de visualizar a validade do modelo de elementos concentrados é notar que esse modelo ignora o tempo finito necessário para que os sinais se propaguem por um circuito. Sempre que esse tempo de propagação não for significativo para a aplicação, o modelo de elementos concentrados pode ser usado. Isto é verdade quando o tempo de propagação é muito menor que o período do sinal envolvido. No entanto, com o aumento do tempo de propagação, haverá um erro crescente entre a fase assumida e a fase real do sinal, o que, por sua vez, resulta em um erro na amplitude assumida do sinal. O ponto exato em que o modelo de elementos concentrados não pode mais ser usado depende, em certa medida, de quão precisamente o sinal precisa ser conhecido em uma determinada aplicação.

Componentes do mundo real exibem características não ideais que são, na realidade, elementos distribuídos, mas são frequentemente representados, em uma aproximação de primeira ordem, por elementos concentrados. Para levar em conta fuga de corrente em capacitores, por exemplo, podemos modelar o capacitor não ideal como tendo um grande resistor concentrado conectado em paralelo, muito embora a fuga esteja, na realidade, distribuída por todo o dielétrico. Da mesma forma, um resistor de fio enrolado possui indutância significativa, bem como uma resistência distribuída ao longo de seu comprimento, mas podemos modelá-lo como um indutor concentrado em série com um resistor ideal.

Sistemas térmicos Um modelo de capacitância concentrada, também chamado de análise de sistema concentrado, reduz um sistema térmico a vários "blocos" discretos e assume que a diferença de temperatura dentro de cada bloco é insignificante. Essa aproximação é útil para simplificar equações diferenciais de calor complexas. Foi desenvolvido como um análogo matemático da capacitância elétrica, embora também inclua análogos térmicos da resistência elétrica .

O modelo de capacitância concentrada é uma aproximação comum na condução transitória, que pode ser usada sempre que a condução de calor dentro de um objeto for muito mais rápida que a transferência de calor através dos limites do objeto. O método de aproximação reduz adequadamente um aspecto do sistema de condução transitória (variação espacial de temperatura dentro do objeto) para uma forma mais matematicamente tratável (isto é, presume-se que a temperatura dentro do objeto seja completamente uniforme no espaço, embora esse valor de temperatura espacialmente uniforme mude com o tempo). O aumento da temperatura uniforme dentro do objeto ou parte de um sistema pode então ser tratado como um reservatório capacitivo que absorve calor até atingir um estado térmico constante no tempo (após o qual a temperatura não muda dentro dele).

Um exemplo preliminarmente descoberto de um sistema de capacitância concentrada que exibe um comportamento matematicamente simples devido a tais simplificações físicas, são sistemas que estão em conformidade com a lei do resfriamento de Newton . Essa lei simplesmente declara que a temperatura de um objeto quente (ou frio) progride em direção à temperatura de seu ambiente de maneira exponencial simples. Os objetos seguem esta lei estritamente somente se a taxa de condução de calor dentro deles for muito maior do que o fluxo de calor que entra ou sai deles. Nesses casos, faz sentido falar de uma única "temperatura do objeto" a qualquer momento (já que não há variação espacial de temperatura no objeto) e também as temperaturas uniformes dentro do objeto permitem que o seu excesso ou déficit total de energia térmica varie proporcionalmente com sua temperatura de superfície, estabelecendo, assim, o requisito da lei do resfriamento de Newton, que a taxa de diminuição da temperatura seja proporcional à diferença entre o objeto e o ambiente. Por sua vez, isso leva a um comportamento exponencial simples de aquecimento ou resfriamento (detalhes abaixo).

Método Para determinar o número de blocos, é utilizado o número Biot (Bi), um parâmetro adimensional do sistema. Bi é definido como a razão entre a resistência térmica condutiva dentro do objeto pela resistência à transferência de calor convectiva através dos limites do objeto com um banho uniforme de uma temperatura diferente. Quando a resistência térmica ao calor transferida para o objeto é maior que a resistência ao calor sendo difundido completamente dentro do objeto, o número de Biot é menor que 1. Nesse caso, particularmente para números de Biot ainda menores, a aproximação da temperatura espacialmente uniforme dentro do objeto pode começar a ser usada, já que pode-se presumir que o calor transferido para dentro do objeto teve tempo para se distribuir uniformemente, devido à menor resistência a fazê-lo, em comparação com a resistência ao calor que entra no objeto.

Se o número de Biot for menor que 0,1 para um objeto sólido, então todo o material terá praticamente a mesma temperatura, com a diferença de temperatura dominante ocorrendo na superfície. Ele pode ser considerado como sendo "termicamente fino". O número de Biot geralmente deve ser menor que 0,1 para uma aproximação precisa útil e para análises de transferência de calor. A solução matemática para a aproximação do sistema concentrado fornece a lei do resfriamento de Newton .

Um número de Biot maior que 0,1 (uma substância "termicamente espessa") indica que não se pode fazer essa suposição, e equações de transferência de calor mais complicadas para "condução de calor transitória" serão necessárias para descrever o campo de temperatura variável no tempo e não espacialmente uniforme dentro do corpo do material.

A abordagem de capacitância única pode ser expandida para envolver muitos elementos resistivos e capacitivos, com Bi <0,1 para cada bloco. Como o número do Biot é calculado com base em um comprimento característico do sistema, este geralmente pode ser dividido em um número suficiente de seções ou blocos, de modo que o número do Biot seja aceitavelmente pequeno.

Alguns comprimentos característicos dos sistemas térmicos são:

Placa: espessura Aleta : espessura / 2 Cilindro longo: diâmetro / 4 Esfera : diâmetro / 6

Para formas arbitrárias, pode ser útil considerar o comprimento característico como sendo volume / área de superfície.

Circuitos térmicos puramente resistivos Um conceito útil usado em aplicações de transferência de calor, uma vez atingida a condição de condução de estado estacionário, é a representação da transferência térmica pelo que é conhecido como circuitos térmicos. Um circuito térmico é a representação da resistência ao fluxo de calor em cada elemento de um circuito, como se fosse um resistor elétrico . O calor transferido é análogo à corrente elétrica e a resistência térmica é análoga ao resistor elétrico. Os valores da resistência térmica para os diferentes modos de transferência de calor são então calculados como denominadores das equações desenvolvidas. As resistências térmicas dos diferentes modos de transferência de calor são usadas na análise de modos combinados de transferência de calor. A falta de elementos "capacitivos" no exemplo puramente resistivo a seguir significa que nenhuma seção do circuito está absorvendo energia ou alterando a distribuição de temperatura. Isso é equivalente a forçar que um estado de condução de calor em estado estacionário (ou transferência, como na radiação) já tenha sido estabelecido.

As equações que descrevem os três modos de transferência de calor e suas resistências térmicas em condições de estado estacionário, conforme discutido anteriormente, estão resumidas na tabela abaixo: +Equações para diferentes modos de transferência de calor e suas resistências térmicas.Modo de TransferênciaTaxa de Transferência de CalorResistência TérmicaConduçãoConvecçãoRadiação, onde Em casos em que há transferência de calor através de diferentes meios (por exemplo, através de um material compósito), a resistência equivalente é a soma das resistências dos componentes que compõem o compósito. Provavelmente, nos casos onde há diferentes modos de transferência de calor, a resistência total é a soma das resistências dos diferentes modos. Usando o conceito de circuito térmico, a quantidade de calor transferida através de algum meio é o quociente da variação de temperatura pela resistência térmica total do meio.

Como exemplo, considere uma parede composta de área de seção transversal . O compósito é feito de um gesso de cimento de comprimento com coeficiente térmico e fibra de vidro de face longa de comprimento , com coeficiente térmico . A superfície esquerda da parede está à temperatura e exposta ao ar com um coeficiente de convecção de . A superfície direita da parede está à temperatura e exposta ao ar com coeficiente de convecção .

Usando o conceito de resistência térmica, o fluxo de calor através do compósito é o seguinte:

Onde

, , e

Lei do resfriamento de Newton A lei do resfriamento de Newton é uma relação empírica atribuída ao físico inglês Sir Isaac Newton (1642 - 1727). Esta lei, declarada de forma não matemática, é a seguinte: