Na teoria dos números, o teorema de Ostrowski, em homenagem a Alexander Ostrowski (1916), afirma que todo valor absoluto não trivial nos números racionais é equivalente ao valor absoluto real usual ou a um valor absoluto -ádico.
Definições Elevar um valor absoluto a uma potência menor que 1 sempre resulta em outro valor absoluto. Dois valores absolutos e em um campo são definidos para serem equivalentes se houver um número real de forma que
O valor absoluto trivial em qualquer campo K é definido ser
O verdadeiro valor absoluto dos racionais é o valor absoluto padrão em reais, definido ser
Isso às vezes é escrito com um subscrito 1 em vez de infinito.
Para um número primo , o -ádico valor absoluto em é definido da seguinte forma: qualquer racional diferente de zero pode ser escrito exclusivamente como , onde e são inteiros co-primos não divisíveis por , e é um inteiro; então nós definimos
Prova Considere um valor absoluto não trivial nos racionais . Consideramos dois casos:
É suficiente considerar a avaliação de inteiros maiores que um. Pois, se encontrarmos para o qual para todos os naturais maiores do que um, então esta relação trivialmente vale para 0 e 1, e para os racionais positivos
e para motivos negativos
Caso (1) Deixe com .Expresse na base :
Então vemos, pelas propriedades de um valor absoluto:
Sendo assim,
No entanto, como , temos
que implica
Agora escolha de tal modo que Usar isso a declaração acima garante que independentemente da escolha de (por outro lado , implicando ). Assim, para qualquer escolha de acima, temos
i.e.
Por simetria, essa desigualdade é uma igualdade.
Uma vez que foram arbitrários, há uma constante para qual , i.e. para todos os naturais . De acordo com as observações acima, vemos facilmente que para todos os racionais, demonstrando assim a equivalência ao valor absoluto real.
Caso (2) Como esta avaliação não é trivial, deve haver um número natural para o qual Fatorando em números primos:
rende que existe de tal modo que Afirmamos que, na verdade, isso é verdade apenas para um.
Suponha per contra que são primos distintos com valor absoluto menor que 1. Primeiro, deixe be such that . Pelo algoritmo euclidiano, existem de tal modo que Isso produz
uma contradição.
Então devemos ter para alguns , e for . Deixando
vemos que para naturais positivos gerais
De acordo com as observações acima, vemos que para todos os racionais, o que implica que o valor absoluto é equivalente ao -ádico.
Também se pode mostrar uma conclusão mais forte, ou seja, que é um valor absoluto não trivial se e somente se qualquer um para algum ou para algum .
Valor absoluto arquimediano Outro teorema afirma que qualquer campo, completo em relação a um valor absoluto arquimediano, é (algebricamente e topologicamente) isomórfico aos números reais ou aos números complexos. Isso às vezes também é conhecido como teorema de Ostrowski.Cassels (1986) p. 33
Referências
Bibliografia
Categoria:Álgebra abstrata