Em matemática, particularmente análise funcional, uma base Hilbertiana é uma generalização do conceito de base ortonormal num espaço de Hilbert. Quando lidando com espaços vetoriais de dimensão finita, é natural utilizar o conceito de base de Hamel e representar vetores como combinações lineares finitas de elementos dessa base. No entanto, no caso de um espaço de dimensão infinita, as bases de Hamel perdem consideravelmente sua utilidade, e, caso o espaço seja dotado de um produto interno cuja norma é completa (ou seja, caso ele for um espaço de Hilbert), as bases de Hilbert definem uma maneira mais eficiente de se decompor vetores.

Sendo uma extensão para espaços de Hilbert da definição de base ortonormal, a base Hilbertiana tem seu nome devido a David Hilbert, matemático alemão que introduziu esse tipo de espaço pela primeira vez.

Definição Seja um espaço de Hilbert. Um subconjunto de é dito ser uma base Hilbertiana de se

é um conjunto ortonormal, ie, , para todos ; o conjunto gerador por for denso em , ie, .

Para uma família ortonormal (ou seja, satisfazendo a propriedade 1) algumas definições equivalentes à acima são

Para todo vale a identidade de Perseval : ; Para todo vale que ;

Uma definição mais geral de somas Seja uma família de vetores de um espaço normado . Suponha que o conjunto dos elementos de que são não nulos é finito ou infinito e enumerável.

Se é finito e = , definimos

Se é enumerável, é uma enumeração de e a série converge comutativamente, definimos

.

Coeficientes de Fourier Sejam um espaço de Hilbert, uma família ortonormal de e um elemento de . Os coeficientes de Fourier de em relação à família são os números da forma onde

Podemos provar que o conjunto dos coeficientes de Fourier de em relação a que são não nulos é finito ou infinito e enumerável, que as somas

e

estão bem definidas e que vale a desigualdade de Bessel :

.

Alguns resultados relevantes

Todo espaço de Hilbert admite uma Base Hilbertiana. Um espaço de Hilbert de dimensão infinita é separável se e só se admite uma base Hilbertiana enumerável.

Referências

Categoria:Análise funcional