thumb|direita|Uma circunferência com Na geometria, uma circunferência, por vezes chamada de círculo, é o conjunto dos pontos num plano numa dada distância de um dado ponto, o centro.
A circunferência é conhecido desde antes do início da história registrada. As circunferência naturais são comuns, como a lua cheia ou uma fatia de fruta redonda. A circunferência é a base da roda, que, com invenções relacionadas, como as engrenagens, torna possível grande parte do maquinário moderno. Na matemática, o estudo da circunferência ajudou a inspirar o desenvolvimento da geometria, da astronomia e do cálculo.
Terminologia Coroa circular: um objeto em forma de anel, a região delimitada por duas circunferências concêntricos. Arco: qualquer parte conectada de uma circunferência. A especificação de dois pontos finais de um arco e de um centro permite a criação de dois arcos que, juntos, formam uma circunferência completa. Centro: o ponto equidistante de todos os pontos da circunferência. Corda: um segmento de linha cujos pontos finais estão na circunferência, dividindo assim uma circunferência em dois segmentos. Comprimento da circunferência: o perímetro ao redor da circunferência. Diâmetro: um segmento de linha cujos pontos finais estão sobre a circunferência e que passa pelo centro; ou o comprimento desse segmento de linha. Essa é a maior distância entre dois pontos quaisquer do circunferência. É um caso especial de uma corda, ou seja, a corda mais longa para uma determinada circunferência, e seu comprimento é duas vezes o comprimento de um raio. Círculo: a região do plano delimitada por uma circunferência. Lente: a região comum a (a interseção de) dois círculos sobrepostos. Raio: segmento de reta que une o centro de uma circunferência a qualquer ponto da própria circunferência; ou o comprimento desse segmento, que é a metade (do comprimento) de um diâmetro. Normalmente, o raio é denotado por e deve ser um número positivo. Um circunferência com é um caso degenerado que consiste em um único ponto. Setor: uma região limitada por dois raios de igual comprimento com um centro comum e um dos dois arcos possíveis, determinados por esse centro e pelos pontos finais dos raios. Segmento circular: uma região delimitada por uma corda e um dos arcos que conectam os pontos finais da corda. O comprimento da corda impõe um limite inferior ao diâmetro dos possíveis arcos. Às vezes, o termo segmento é usado apenas para regiões que não contêm o centro da circunferência na qual o arco pertence. Secante: uma corda estendida, uma linha reta coplanar, que intercepta uma circunferência em dois pontos. Semicírculo: um dos dois arcos possíveis determinados pelos pontos finais de um diâmetro, tendo seu ponto médio como centro. No uso comum não técnico, pode significar o interior da região bidimensional delimitada por um diâmetro e um de seus arcos, que é tecnicamente chamado de semidisco. Um meio disco é um caso especial de um segmento, ou seja, o maior deles. Tangente: uma linha reta coplanar que tem um único ponto em comum com uma circunferência ("toca a circunferência nesse ponto").
Todas as regiões especificadas podem ser consideradas como abertas, ou seja, não contendo seus limites, ou como fechadas, incluindo seus respectivos limites.
História Os povos pré-históricos fizeram círculos de pedra e círculos de madeira, e elementos circulares são comuns em petróglifos e pinturas rupestres. Os artefatos pré-históricos em forma de disco incluem o Disco de Nebra e os discos de jade chamados Bi.
O papiro egípcio de Rhind, datado de 1700 a.C., apresenta um método para encontrar a área de um círculo. O resultado corresponde a (3,16049...) como um valor aproximado de .Chronology for 30000 BC to 500 BC . History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03.
O Livro 3 de Os Elementos de Euclides trata das propriedades das circunferência. A definição de circunferência de Euclides é a seguinte:
Na Sétima Carta de Platão, há uma definição e explicação detalhadas da circunferência. Platão explica a circunferência perfeita e como ele é diferente de qualquer desenho, palavra, definição ou explicação. A ciência primitiva, particularmente a geometria, a astrologia e a astronomia, estava ligada ao divino para a maioria dos estudiosos medievais, e muitos acreditavam que havia algo intrinsecamente "divino" ou "perfeito" que poderia ser encontrado nas circunferências.Arthur Koestler, The Sleepwalkers: A History of Man's Changing Vision of the Universe (1959)Proclus, The Six Books of Proclus, the Platonic Successor, on the Theology of Plato Tr. Thomas Taylor (1816) Vol. 2, Ch. 2, "Of Plato"
Em 1880 d.C., Ferdinand von Lindemann provou que é transcendente, demonstrando que o problema milenar da quadratura do círculo não pode ser realizado com régua e compasso.Squaring the circle . History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03.
Com o advento da arte abstrata no início do século XX, os objetos geométricos se tornaram um tema artístico por si só. Wassily Kandinsky, em particular, usava circunferência com frequência como um elemento de suas composições.
Simbolismo e uso religioso ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:God_the_Geometer.jpg|direita|miniaturadaimagem|274x274px|O compasso neste manuscrito do século XIII é um símbolo do ato de criação de Deus. Observe também a forma circular da auréola. Desde os tempos das primeiras civilizações conhecidas - como os assírios e os egípcios antigos, os do Vale do Indo e ao longo do Rio Amarelo na China, e as civilizações ocidentais da Grécia e Roma antigas durante a Antiguidade Clássica - a circunferência tem sido usado direta ou indiretamente na arte visual para transmitir a mensagem do artista e expressar determinadas ideias. No entanto, as diferenças de visão de mundo (crenças e cultura) tiveram um grande impacto sobre as percepções dos artistas. Enquanto alguns enfatizaram o perímetro da circunferência para demonstrar sua manifestação democrática, outros se concentraram em seu centro para simbolizar o conceito de unidade cósmica. Nas doutrinas místicas, a circunferência simboliza principalmente a natureza infinita e cíclica da existência, mas nas tradições religiosas ele representa corpos celestes e espíritos divinos.
A circunferência significa muitos conceitos sagrados e espirituais, incluindo unidade, infinidade, totalidade, universo, divindade, equilíbrio, estabilidade e perfeição, entre outros. Tais conceitos foram transmitidos em culturas do mundo todo por meio do uso de símbolos, por exemplo, uma bússola, um halo, a vesica piscis e seus derivados (peixe, olho, aureola, mandorla etc.), o ouroboros, a roda do darma, um arco-íris, mandalas, rosáceas etc. Os círculos mágicos fazem parte de algumas tradições do esoterismo ocidental.
1.ª Demonstração Considere-se uma sucessão de polígonos regulares inscritos na circunferência. A área de cada um desses polígonos é dada por , onde é o semiperímetro do polígono e é o seu apótema. À medida que o número de lados do polígono aumenta, converge para a metade do comprimento da circunferência () e converge para o raio (). Assim converge para. Por outro lado, à medida que o número de lados do polígono cresce, a sua área converge para a área do círculo. Conclui-se assim que a área do círculo é .Mandarino, Denis - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007., Cap.: Áreas.
2.ª Demonstração Seja f uma semicircunferência tal que:
Para calcular a área de um círculo, basta que calculemos a área abaixo do gráfico de uma semicircunferência e dobremo-la. Portanto, basta calcular a integral definida:
uma circunferência em
Geometria analítica Em geometria analítica é possível descrever a circunferência como o lugar geométrico de todos os pontos que estão a uma distância igual a um valor (chamado de raio) de um ponto fixo (chamado de centro ou origem).
Numericamente pode-se descrever a circunferência pela seguinte equação:
Onde e são as coordenadas do centro e o raio do círculo.
Resultados analíticos Comprimento da circunferência
A razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é , uma constante irracional aproximadamente igual a 3,141592654. Assim, o comprimento está relacionada ao raio e ao diâmetro por:
Área Conforme demonstrado por Arquimedes, em sua obra , a área delimitada por um círculo é igual à de um triângulo cuja base tem o comprimento da circunferência do círculo e cuja altura é igual ao raio do círculo, o que resulta em multiplicado pelo raio ao quadrado:
De forma equivalente, denotando o diâmetro por ,
ou seja, aproximadamente 79% do quadrado circunscrito (cujo lado é de comprimento ).
A circunferência é a curva plana que abrange a área máxima para um determinado comprimento de arco. Isso relaciona o círculo a um problema no cálculo de variações, a saber, a desigualdade isoperimétrica.
Equações Equação de um círculo Em um Sistema de coordenadas cartesiano , a circunferência com coordenadas de centro () e raio é o conjunto de todos os pontos () de modo queEssa equação, conhecida como equação da circunferência, decorre do teorema de Pitágoras aplicado a qualquer ponto da circunferência: conforme mostrado no diagrama ao lado, o raio é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos outros lados têm comprimento e . Se a circunferência estiver centrado na origem (), então a equação se simplifica paraForma paramétrica A equação pode ser escrita na forma paramétrica usando as funções trigonométricas seno e cosseno comoem que t é uma variável paramétrica no intervalo de a , interpretada geometricamente como o ângulo que o raio de () a () faz com o eixo positivo.
Uma parametrização alternativa da circunferência éNessa parametrização, a proporção de para pode ser interpretada geometricamente como a projeção estereográfica da linha que passa pelo centro paralelamente ao eixo (consulte substituição de meio-ângulo tangente). No entanto, essa parametrização funciona somente se for feito para abranger não somente todos os reais, mas também um ponto no infinito; caso contrário, o ponto mais à esquerda da circunferência seria omitido.
Determinação por três pontos A equação da circunferência determinada por três pontos não em uma linha é obtida por uma conversão da forma de 3 pontos de uma equação de circunferência:Forma homogênea Em coordenadas homogêneas, cada seção cônica com a equação de uma circunferência tem a formaPode-se provar que uma seção cônica é uma circunferência exatamente quando ela contém (quando estendida ao plano projetivo complexo) os pontos e . Esses pontos são chamados de pontos circulares no infinito.
Coordenadas polares Em coordenadas polares, a equação de uma circunferência éonde é o raio da circunferência, são as coordenadas polares de um ponto genérico na circunferência, e as coordenadas polares do centro da circunferência (ou seja, é a distância da origem até o centro da circunferência e é o ângulo anti-horário do eixo positivo até a linha que liga a origem ao centro da circunferência). Para uma circunferência centrada na origem, ou seja, , isso se reduz a . Quando , ou quando a origem está na circunferência, a equação se tornaNo caso geral, a equação pode ser resolvida para , dandoSem o sinal , a equação descreveria, em alguns casos, apenas metade de uma circunferência.
Plano complexo No plano complexo, uma circunferência com centro em e raio tem a equação
Na forma paramétrica, isso pode ser escrito como
A equação ligeiramente generalizada
para , reais e complexo, às vezes é chamado de circunferência generalizada. Isso se torna a equação acima para um círculo com já que . Nem todos as circunferência generalizadas são de fato circunferência: um circunferência generalizada ou é uma circunferência (verdadeira), ou é uma linha.
Linhas tangentes