Na física matemática, a estrutura causal de uma variedade lorentziana descreve as possíveis relações causais entre os pontos da variedade. As variedades lorentzianas podem ser classificadas de acordo com os tipos de estruturas causais que admitem (condições de causalidade).
Introdução Na física moderna (especialmente na relatividade geral), o espaço-tempo é representado por uma variedade lorentziana. As relações causais entre os pontos da variedade são interpretadas como a descrição de quais eventos no espaço-tempo podem influenciar quais outros eventos.
A estrutura causal de uma variedade lorentziana arbitrária (possivelmente curva) torna-se mais complicada devido à presença de curvatura. As discussões sobre a estrutura causal para tais variedades devem ser formuladas em termos de curvas suaves que unem pares de pontos. Condições sobre os vetores tangentes das curvas definem, então, as relações causais.
Vetores tangentes 250px|thumb|right|Subdivisão do espaço-tempo de Minkowski em relação a um ponto em quatro conjuntos disjuntos: o cone de luz, o futuro causal, o passado causal e o além (elsewhere). A terminologia é definida neste artigo.
Se é uma variedade lorentziana (para uma métrica na variedade ), então os vetores tangentes não nulos em cada ponto da variedade podem ser classificados em três tipos disjuntos. Um vetor tangente é: tipo tempo (timelike) se nulo ou tipo luz (lightlike) se tipo espaço (spacelike) se Aqui, utiliza-se a assinatura da métrica . Diz-se que um vetor tangente é não tipo espaço se ele for nulo ou tipo tempo.
A variedade lorentziana canônica é o espaço-tempo de Minkowski, onde e é a métrica de Minkowski plana. Os nomes dos vetores tangentes provêm da física desse modelo. As relações causais entre pontos no espaço-tempo de Minkowski assumem uma forma particularmente simples porque o espaço tangente também é e, portanto, os vetores tangentes podem ser identificados com pontos no próprio espaço. O vetor quadridimensional é classificado de acordo com o sinal de , onde é um sistema de coordenadas cartesianas no espaço tridimensional, é a constante que representa o limite universal da velocidade e é o tempo. A classificação de qualquer vetor no espaço será a mesma em todos os referenciais que estejam relacionados por uma transformação de Lorentz (mas não por uma transformação de Poincaré geral, pois a origem poderia ser deslocada) devido à invariância da métrica.
Orientabilidade temporal Em cada ponto de , os vetores tangentes tipo tempo no espaço tangente do ponto podem ser divididos em duas classes. Para fazer isso, define-se primeiro uma relação de equivalência em pares de vetores tangentes tipo tempo.
Se e são dois vetores tangentes tipo tempo em um ponto, diz-se que e são equivalentes (escreve-se ) se .
Existem, então, duas classes de equivalência que, entre si, contêm todos os vetores tangentes tipo tempo no ponto. Pode-se chamar (arbitrariamente) uma dessas classes de equivalência de direcionada para o futuro e a outra de direcionada para o passado. Fisicamente, essa designação das duas classes de vetores tipo tempo corresponde a uma escolha de uma seta do tempo no ponto. As designações de direcionamento para o futuro e para o passado podem ser estendidas para vetores nulos em um ponto por continuidade.
Uma variedade lorentziana é orientável no tempo se uma designação contínua de direcionamento para o futuro e para o passado para vetores não tipo espaço puder ser feita ao longo de toda a variedade.
Curvas Um caminho em é uma aplicação contínua onde é um intervalo não degenerado (ou seja, um conjunto conexo que contém mais de um ponto) em . Um caminho suave possui diferenciável um número apropriado de vezes (geralmente ), e um caminho regular possui derivada diferente de zero em todos os pontos.
Uma curva em é a imagem de um caminho ou, mais precisamente, uma classe de equivalência de caminhos relacionados por reparametrização, isto é, homeomorfismos ou difeomorfismos de . Quando é orientável no tempo, a curva é orientada se a mudança de parâmetro for obrigatoriamente uma função monótona estritamente crescente.
As curvas (ou caminhos) suaves e regulares em podem ser classificadas de acordo com seus vetores tangentes. Uma curva deste tipo é: cronológica (ou tipo tempo) se o vetor tangente for do tipo tempo em todos os pontos da curva. Também é chamada de linha de universo. nula (ou tipo luz) se o vetor tangente for nulo em todos os pontos da curva. tipo espaço se o vetor tangente for do tipo espaço em todos os pontos da curva. causal (ou não tipo espaço) se o vetor tangente for do tipo tempo ou nulo em todos os pontos da curva.
As exigências de regularidade e de não degeneração de garantem que curvas causais fechadas triviais (como aquelas que consistem em um único ponto) não sejam admitidas automaticamente por todos os espaços-tempos.
Se a variedade for orientável no tempo, as curvas não tipo espaço podem ser adicionalmente classificadas dependendo de sua orientação em relação ao tempo.
Uma curva cronológica, nula ou causal em é: orientada para o futuro se, para cada ponto da curva, o vetor tangente for orientado para o futuro. orientada para o passado se, para cada ponto da curva, o vetor tangente for orientado para o passado.
Essas definições aplicam-se apenas a curvas causais (cronológicas ou nulas), porque apenas vetores tangentes do tipo tempo ou nulos podem receber uma orientação em relação ao tempo.
Uma curva tipo tempo fechada é uma curva fechada que é, em toda a sua extensão, tipo tempo orientada para o futuro (outrossim, tipo tempo orientada para o passado). Uma curva nula fechada é uma curva fechada que é, em toda a sua extensão, nula orientada para o futuro (outrossim, nula orientada para o passado). A holonomia da razão da taxa de variação do parâmetro afim ao redor de uma geodésica nula fechada é o fator de desvio para o vermelho (redshift).
Relações causais
Existem várias relações causais entre pontos e na variedade .
precede cronologicamente (frequentemente denotado por ) se existir uma curva cronológica (tipo tempo) direcionada para o futuro de até precede causalmente estrito (frequentemente denotado por ) se existir uma curva causal (não tipo espaço) direcionada para o futuro de até . precede causalmente (frequentemente denotado por ou ) se precede causalmente estrito ou se . horismos (frequentemente denotado por ou ) se ou se existir uma curva nula direcionada para o futuro de até (ou, equivalentemente, e implica (isso segue trivialmente da definição)). , implica , implies , , são transitivas. não é transitiva. A relação causal é a menor extensão transitiva da relação horismos . , são reflexivas.
Para um ponto na variedade , define-se: O futuro cronológico de , denotado por , como o conjunto de todos os pontos em tais que precede cronologicamente :
O passado cronológico de , denotado por , como o conjunto de todos os pontos em tais que precede cronologicamente :
De forma semelhante, define-se: O futuro causal (também chamado de futuro absoluto) de , denotado por , como o conjunto de todos os pontos em tais que precede causalmente :
O passado causal (também chamado de passado absoluto) de , denotado por , como o conjunto de todos os pontos em tais que precede causalmente :
O cone nulo futuro de como o conjunto de todos os pontos em tais que . O cone nulo passado de como o conjunto de todos os pontos em tais que . O cone de luz de como a união dos cones nulos futuro e passado de . Além (elsewhere) como os pontos que não estão no cone de luz, no futuro causal ou no passado causal.
Pontos contidos em , por exemplo, podem ser alcançados a partir de por uma curva tipo tempo direcionada para o futuro. O ponto pode ser alcançado, por exemplo, a partir de pontos contidos em por uma curva não tipo espaço direcionada para o futuro.
No espaço-tempo de Minkowski, o conjunto é o interior do cone de luz futuro em . O conjunto é o cone de luz futuro completo em , incluindo o próprio cone.
Estes conjuntos , definidos para todos os em , são chamados coletivamente de estrutura causal de .
Para , um subconjunto de , define-se:
Para , dois subconjuntos de , define-se:
O futuro cronológico de relativo a , , é o futuro cronológico de considerado como uma subvariedade de . Note que este é um conceito bastante diferente de , que resulta no conjunto de pontos em que podem ser alcançados por curvas tipo tempo direcionadas para o futuro que partem de . No primeiro caso, as curvas devem situar-se inteiramente dentro de ; no segundo caso, isso não é obrigatório. Veja Hawking e Ellis. O futuro causal de relativo a , , é o futuro causal de considerado como uma subvariedade de . Note que este é um conceito bastante diferente de , que fornece o conjunto de pontos em que podem ser alcançados por curvas causais direcionadas para o futuro que partem de . No primeiro caso, as curvas devem situar-se inteiramente dentro de ; no segundo caso, não. Veja Hawking e Ellis. Umconjunto futuro é um conjunto fechado sob o futuro cronológico. Um conjunto passado é um conjunto fechado sob o passado cronológico. Um conjunto passado indecomponível (IP, do inglês indecomposable past set) é um conjunto passado que não é a união de dois subconjuntos próprios passados abertos diferentes. Um IP que não coincide com o passado de nenhum ponto em é chamado de conjunto passado indecomponível terminal (TIP, do inglês terminal indecomposable past set). Um conjunto passado indecomponível próprio (PIP, do inglês proper indecomposable past set) é um IP que não é um TIP. é um conjunto passado indecomponível próprio (PIP). O desenvolvimento de Cauchy futuro de , , é o conjunto de todos os pontos para os quais cada curva causal inextensível direcionada para o passado que passa por intersecta pelo menos uma vez. Definição análoga aplica-se ao desenvolvimento de Cauchy passado. O desenvolvimento de Cauchy é a união dos desenvolvimentos de Cauchy futuro e passado. Os desenvolvimentos de Cauchy são importantes para o estudo do determinismo. Um subconjunto é acronal se não existirem tais que ou, equivalentemente, se for disjunto de . thumb|Diamante causal Uma superfície de Cauchy é um conjunto acronal fechado cujo desenvolvimento de Cauchy é . Uma métrica é globalmente hiperbólica se puder ser folheada por superfícies de Cauchy. O conjunto de violação de cronologia é o conjunto de pontos pelos quais passam curvas tipo tempo fechadas. O conjunto de violação de causalidade é o conjunto de pontos pelos quais passam curvas causais fechadas. A fronteira do conjunto de violação de causalidade é um horizonte de Cauchy. Se o horizonte de Cauchy for gerado por geodésicas nulas fechadas, então há um fator de desvio para o vermelho associado a cada uma delas. Para uma curva causal , o diamante causal é (aqui utiliza-se a definição mais ampla de "curva", na qual ela é apenas um conjunto de pontos), estando o ponto no passado causal de . Em outras palavras: o diamante causal da linha de universo de uma partícula é o conjunto de todos os eventos que estão tanto no passado de algum ponto em quanto no futuro de algum ponto em . Na versão discreta, o diamante causal é o conjunto de todos os caminhos causais que conectam a partir de .
Propriedades Veja Penrose (1972), p. 13.
Um ponto está em se e somente se estiver em .
O horismos é gerado por congruências de geodésicas nulas.
Propriedades topológicas: é aberto para todos os pontos em . é aberto para todos os subconjuntos . para todos os subconjuntos . Aqui, representa o fechamento do subconjunto .
Geometria conformal
Duas métricas and são conformalmente relacionadas se para alguma função real chamada de fator conformal. (Veja mapeamento conformal).