Na geometria algébrica, a teoria de Brill-Noether, introduzida por Alexander von Brill e Max Noether, é o estudo dos divisores especiais, certos divisores em uma curva que determinam funções mais compatíveis do que seria previsto. Na linguagem clássica, os divisores especiais se movem na curva em um sistema linear de divisores "maior que o esperado".
Consideramos uma curva suave projetiva sobre os números complexos (ou sobre algum outro corpo algebricamente fechado).
A condição de ser um divisor especial pode ser formulada em termos de coomologia de feixe, como o não-nulo da coomologia do feixe de seções do feixe invertível ou fibrado de linha associado a . Isso significa que, pelo teorema de Riemann–Roch, a cohomologia ou espaço de seções holomorfas é maior do que o esperado.
Alternativamente, pela dualidade de Serre, a condição é que existam diferenciais holomórficos com divisor na curva.
Principais teoremas da teoria de Brill-Noether Para um dado gênero , o espaço de módulos para as curvas do gênero deve conter um subconjunto denso que parametrize essas curvas com o mínimo na forma de divisores especiais. Um dos objetivos da teoria é 'contar constantes', para essas curvas: prever a dimensão do espaço de divisores especiais (até a equivalência linear) de um dado grau , como uma função de , que deve estar presente em um curva desse gênero.
A declaração básica pode ser formulada em termos da variedade Picard de uma curva suave , e o subconjunto de correspondente às classes de divisores de divisores , com valores dados de e de na notação do teorema de Riemann–Roch. Existe um limite inferior para a dimensão deste subesquema em :
chamado de número Brill-Noether.
Eric Larson e Isabel Vogt (2022) provaram que se então existe uma curva interpolando por pontos gerais em se e apenas se exceto em 4 casos excepcionais:
Referências
Categoria:Curvas algébricas