Na matemática, em particular na álgebra linear, o lema do determinante de matriz computa o determinante da soma de uma matriz invertível A e o produto diádico, uvT, de um vetor coluna u e um vetor linha vT.

Enunciado Suponha que A seja uma matriz quadrada invertível e u, v sejam vetores coluna. Então, o lema do determinante de matriz afirma que

Aqui, uvT é o produto externo de dois vetores u e v.

O teorema também pode ser enunciado em termos da matriz adjunta de A:

caso em que se aplica independentemente de a matriz A ser invertível ou não.

Demonstração Primeiro, a demonstração do caso especial A = I segue da igualdade:

O determinante do lado esquerdo é o produto dos determinantes das três matrizes. Como a primeira e a terceira matriz são matrizes triangulares com diagonal unitária, seus determinantes são simplesmente 1. O determinante da matriz do meio é o valor desejado. O determinante do lado direito é simplesmente (1 + vTu). Logo, temos o resultado:

O caso geral pode então ser encontrado definindo u como A−1u:

Aplicação

Se o determinante e a inversa de A já são conhecidos, a fórmula fornece uma maneira numericamente barata de calcular o determinante de A corrigido pela matriz uvT. O cálculo é relativamente barato porque o determinante de A + uvT não precisa ser computado do zero (o que, em geral, é custoso). Usando vetores unitários para u e/ou v, colunas individuais, linhas ou elementos de A podem ser manipulados e um determinante correspondentemente atualizado pode ser computado de forma barata por este meio.

Quando o lema do determinante de matriz é usado em conjunto com a fórmula de Sherman-Morrison, tanto a inversa quanto o determinante podem ser convenientemente atualizados juntos.

Generalização Suponha que A seja uma matriz invertível n-por-n e U, V sejam matrizes n-por-m. Então

No caso especial , esta é a identidade de Weinstein–Aronszajn.

Dado adicionalmente uma matriz invertível m-por-m W, a relação também pode ser expressa como

Ver também A fórmula de Sherman–Morrison, que mostra como atualizar a inversa, A−1, para obter (A + uvT)−1. A identidade de matriz de Woodbury, que mostra como atualizar a inversa, A−1, para obter (A + UCVT)−1. O teorema do binômio inverso para (A + UCVT)−1.

Referências

Categoria:Lemas em álgebra linear Categoria:Teoria matricial