direita|miniaturadaimagem|320x320px| Um arbelos (região cinza) miniaturadaimagem| Escultura de Arbelos em Kaatsheuvel, Holanda Em geometria, um arbelos é uma região plana delimitada por três semicírculos com três vértices, de modo que cada canto de cada semicírculo é compartilhado com um dos outros (conectado), todos do mesmo lado de uma linha reta (a linha de base ) que contém seus diâmetros.
A mais antiga referência conhecida a esta figura está no Livro de Lemmas de Arquimedes, onde algumas de suas propriedades matemáticas são declaradas como Proposições 4 a 8.Thomas Little Heath (1897), The Works of Archimedes. A palavra arbelos é grega para 'faca de sapateiro'. A figura está intimamente relacionada com a Corrente de Papo.
Propriedades Dois dos semicírculos são necessariamente côncavos, com diâmetros arbitrários e ; o terceiro semicírculo é convexo, com diâmetro direita|miniaturadaimagem|320x320px| Alguns pontos especiais nos arbelos.
Área A área do arbelos é igual à área de um círculo de diâmetro .
Prova: para a prova, reflita o arbelos sobre a linha através dos pontos e , observando que duas vezes a área do arbelos é o que sobra quando as áreas dos dois círculos menores (com diâmetros e ) são subtraídos da área do círculo maior (com diâmetro ). Já que á área do círculo é proporcional ao quadrado do diâmetro (Elementos de Euclides, Livro XII, Proposição 2; não precisamos saber que a constante de proporcionalidade é ), o problema se reduz a mostrar que . O comprimento é igual à soma dos comprimentos e , logo a equação se simplifica para . Logo, podemos afirmar que o comprimento do segmento é a média geométrica dos comprimentos dos segmentos and . Agora (ver figura abaixo) o triângulo , sendo inscrito ao semicírculo, tem um ângulo reto no ponto (Elementos, Livro III, Proposição 31), e consequentemente é de fato uma "média proporcional" entre e (Elementos, Livro VI, Proposição 8, Porisma). Esta prova aproxima o antigo argumento grego; Harold P. Boas cita um artigo de Roger B. Nelsen que implementou a ideia como uma prova visual. centro
Retângulo Sejam e os pontos onde os segmentos e interceptam os semicírculos e , respectivamente. O quadrilátero é na verdade um retângulo .
Prova : , , e são ângulos retos porque estão inscritos em semicírculos (pelo teorema de Tales). O quadrilátero portanto, tem três ângulos retos, portanto é um retângulo. QED
Tangentes A linha é tangente ao semicírculo em e ao semicírculo em .
Prova : Como é um ângulo reto, é igual a menos . Contudo, é igual a menos (já que é um ângulo reto). Logo, os triângulos e são similares. Com isso, é igual a , onde é o ponto médio de e é o ponto médio de . Mas é uma linha reta, então e são ângulos suplementares. Portanto a soma de e é π. é um ângulo reto. A soma dos ângulos em qualquer quadrilátero é 2π, então no quadrilátero , deve ser um ângulo reto. Mas é um retângulo, então o ponto médio de (a diagonal do retângulo) também é o ponto médio de (a outra diagonal do retângulo). Como (definido como o ponto médio de ) é o centro do semicírculo , e o ângulo é um ângulo reto, então é tangente ao semicírculo em . Por raciocínio análogo, é tangente ao semicírculo em . Q.E.D.
Círculos de arquimedes A altitude divide os arbelos em duas regiões, cada uma limitada por um semicírculo, um segmento de linha reta e um arco do semicírculo externo. Os círculos inscritos em cada uma dessas regiões, conhecidos como círculos de Arquimedes dos arbelos, têm o mesmo tamanho.
Variações e generalizações direita|miniaturadaimagem| Exemplo de um f -belos O parbelos é uma figura semelhante ao arbelos, que usa segmentos de parábola em vez de semicírculos. Uma generalização que compreende arbelos e parbelos é o f -belos, que usa um certo tipo de funções diferenciáveis semelhantes.Antonio M. Oller-Marcen: "The f-belos".
No modelo de meio plano de Poincaré do plano hiperbólico, um arbelos modela um triângulo ideal .
Etimologia direita|miniaturadaimagem| O tipo de faca de sapateiro que deu nome à figura O nome arbelos vem do grego ἡ ἄρβηλος he árbēlos ou ἄρβυλος árbylos, que significa "faca de sapateiro", uma faca usada por sapateiros desde a antiguidade até os dias atuais, cuja lâmina se diz assemelhar-se à figura geométrica.
Ver também
Quádruplos de Arquimedes Círculo de bancarrota Círculos de Schoch Linha Schoch Círculos Woo Cadeia de Papo Salinon
Referências Thomas Little Heath (1897), The Works of Archimedes.
Bibliografia
American Mathematical Monthly, 120 (2013), 929-935.
Ligações Externas
Categoria:Geometria