A velocidade vetorial é uma medida da velocidade escalar em uma determinada direção do movimento. É um conceito fundamental na cinemática, o ramo da mecânica clássica que descreve o movimento de objetos físicos. A velocidade vetorial é uma grandeza vetorial, o que significa que tanto a magnitude quanto a direção são necessárias para defini-la (vetor velocidade). O valor absoluto escalar (magnitude) da velocidade vetorial é chamado de , uma grandeza que é medida em metros por segundo (m/s ou m⋅s−1) no SI (Sistema Internacional de Unidades). Por exemplo, "5 metros por segundo" é um escalar, ao passo que "5 metros por segundo para o leste" é um vetor. Se houver uma mudança na velocidade escalar, na direção ou em ambas, diz-se então que o objeto está passando por uma aceleração.
Definição Velocidade vetorial média A velocidade vetorial média de um objeto ao longo de um período de tempo é a sua mudança de posição, , dividida pela duração do período, , dada matematicamente como:
Velocidade vetorial instantânea
A velocidade vetorial instantânea de um objeto é o limite da velocidade vetorial média à medida que o intervalo de tempo se aproxima de zero. Em qualquer instante específico , ela pode ser calculada como a derivada da posição em relação ao tempo:
A partir desta equação derivada, no caso unidimensional pode-se ver que a área sob um gráfico de velocidade vetorial vs. tempo ( vs. ) é o deslocamento, . Em termos de cálculo, a integral da função velocidade vetorial é a função deslocamento . Na figura, isso corresponde à área amarela sob a curva:
Embora o conceito de uma velocidade vetorial instantânea possa parecer contraintuitivo à primeira vista, ele pode ser pensado como a velocidade vetorial com a qual o objeto continuaria a se mover se parasse de acelerar naquele exato momento.
Diferença entre velocidade escalar e velocidade vetorial
Embora os termos velocidade escalar e velocidade vetorial sejam frequentemente usados de forma intercambiável coloquialmente para conotar o quão rápido um objeto está se movendo, em termos científicos eles são diferentes. A velocidade escalar, a magnitude escalar de um vetor velocidade, denota apenas o quão rápido um objeto está se movendo, enquanto a velocidade vetorial indica tanto a velocidade escalar quanto a direção de um objeto.
Para ter uma velocidade vetorial constante, um objeto deve ter uma velocidade escalar constante em uma direção constante. A direção constante restringe o objeto ao movimento em uma trajetória reta; portanto, uma velocidade vetorial constante significa movimento em linha reta a uma velocidade escalar constante.
Por exemplo, um carro que se move a uma velocidade escalar constante de 20 quilômetros por hora em uma trajetória circular tem uma velocidade escalar constante, mas não possui uma velocidade vetorial constante porque sua direção muda. Portanto, considera-se que o carro está passando por uma aceleração.
Unidades Como a derivada da posição em relação ao tempo fornece a mudança na posição (em metros) dividida pela mudança no tempo (em segundos), a velocidade vetorial é medida em metros por segundo (m/s).
Equação de movimento
Velocidade vetorial média A velocidade vetorial é definida como a taxa de variação da posição em relação ao tempo, que também pode ser chamada de velocidade vetorial instantânea para enfatizar a distinção da velocidade vetorial média. Em algumas aplicações, a velocidade vetorial média de um objeto pode ser necessária, ou seja, a velocidade vetorial constante que forneceria o mesmo deslocamento resultante que uma velocidade vetorial variável no mesmo intervalo de tempo, , ao longo de algum período de tempo . A velocidade vetorial média pode ser calculada como:
A velocidade vetorial média é sempre menor ou igual à velocidade escalar média de um objeto. Isso pode ser visto ao perceber que, enquanto a distância é sempre estritamente crescente, o deslocamento pode aumentar ou diminuir em magnitude, bem como mudar de direção.
Em termos de um gráfico de deslocamento-tempo ( vs. ), a velocidade vetorial instantânea (ou, simplesmente, velocidade vetorial) pode ser pensada como a declividade da linha tangente à curva em qualquer ponto, e a velocidade vetorial média como a declividade da reta secante entre dois pontos com coordenadas iguais aos limites do período de tempo para a velocidade vetorial média.
Casos especiais Quando uma partícula se move com diferentes velocidades escalares uniformes v1, v2, v3, ..., vn em diferentes intervalos de tempo t1, t2, t3, ..., tn respectivamente, então a velocidade escalar média ao longo do tempo total da viagem é dada por: Se , então a velocidade escalar média é dada pela média aritmética das velocidades escalares: Quando uma partícula se move diferentes distâncias s1, s2, s3,..., sn com velocidades escalares v1, v2, v3,..., vn respectivamente, então a velocidade escalar média da partícula ao longo da distância total é dada por: Se , então a velocidade escalar média é dada pela média harmônica das velocidades escalares:
Relação com a aceleração
Embora a velocidade vetorial seja definida como a taxa de variação da posição, muitas vezes é comum começar com uma expressão para a aceleração de um objeto. Como visto pelas três linhas tangentes verdes na figura, a aceleração instantânea de um objeto em um ponto no tempo é a declividade da linha tangente à curva de um gráfico naquele ponto. Em outras palavras, a aceleração instantânea é definida como a derivada da velocidade vetorial em relação ao tempo:
A partir daí, a velocidade vetorial é expressa como a área sob um gráfico de aceleração vs. tempo. Como acima, isso é feito usando o conceito de integral:
Aceleração constante No caso especial de aceleração constante, a velocidade vetorial pode ser estudada usando as equações de movimento. Ao considerar como sendo igual a algum vetor constante arbitrário, isso mostra que:
com sendo a velocidade vetorial no tempo e sendo a velocidade vetorial no tempo . Ao combinar esta equação com a equação de movimento , é possível relacionar o deslocamento e a velocidade vetorial média por:
Também é possível derivar uma expressão para a velocidade escalar independente do tempo, conhecida como a equação de Torricelli, da seguinte forma:
onde e .
As equações acima são válidas tanto para a mecânica newtoniana quanto para a relatividade especial. Onde a mecânica newtoniana e a relatividade especial diferem é em como diferentes observadores descreveriam a mesma situação. Em particular, na mecânica newtoniana, todos os observadores concordam com o valor de e as regras de transformação para a posição criam uma situação na qual todos os observadores não acelerados descreveriam a aceleração de um objeto com os mesmos valores. Nenhuma das duas coisas é verdadeira para a relatividade especial. Em outras palavras, apenas a velocidade vetorial relativa pode ser calculada.
Grandezas que dependem da velocidade vetorial
Momento linear
Na mecânica clássica, a segunda lei de Newton define o momento linear, , como um vetor que é o produto da massa de um objeto pela sua velocidade vetorial, dado matematicamente como:onde m é a massa do objeto.
Energia cinética
A energia cinética de um objeto em movimento depende da sua velocidade escalar e é dada pela equação:onde Ek é a energia cinética. A energia cinética é uma grandeza escalar, pois depende do quadrado da velocidade escalar.
Arrasto (resistência dos fluidos) Na dinâmica dos fluidos, o arrasto é uma força que atua na direção oposta ao movimento relativo de qualquer objeto que se mova em relação a um fluido circundante. A força de arrasto, , depende do quadrado da velocidade escalar e é dada como:onde:
é a densidade do fluido,Para a atmosfera da Terra, a densidade do ar pode ser encontrada usando a fórmula barométrica. Ela é de 1,293 kg/m3 a 0 °C e 1 atmosfera. é a velocidade escalar do objeto em relação ao fluido, é a área da seção reta, e é o coeficiente de arrasto – um número adimensional.
Velocidade de escape A velocidade de escape é a velocidade escalar mínima que um objeto balístico precisa para escapar de um corpo de grande massa, como a Terra. Ela representa a energia cinética que, quando somada à energia potencial gravitacional do objeto (que é sempre negativa), é igual a zero. A fórmula geral para a velocidade de escape de um objeto a uma distância r do centro de um planeta com massa M é:onde G é a constante gravitacional e g é a aceleração gravitacional. A velocidade de escape da superfície da Terra é de cerca de 11.200 m/s, e independe da direção do objeto. Isso torna o termo em inglês "escape velocity" um tanto inadequado, pois o termo mais correto seria "escape speed" (velocidade escalar de escape): qualquer objeto que atinja uma velocidade escalar dessa magnitude, independentemente da atmosfera, deixará as proximidades do corpo de base, desde que não colida com algo em seu caminho.
O fator de Lorentz da relatividade especial
Na relatividade especial, o fator de Lorentz adimensional aparece com frequência e é dado por:onde é o fator de Lorentz e c é a velocidade escalar da luz.
Velocidade vetorial relativa
A velocidade vetorial relativa é uma medida da velocidade vetorial entre dois objetos conforme determinado em um único sistema de coordenadas. A velocidade vetorial relativa é fundamental tanto na física clássica quanto na moderna, já que muitos sistemas na física lidam com o movimento relativo de duas ou mais partículas.
Considere um objeto A se movendo com o vetor velocidade vetorial e um objeto B com o vetor velocidade vetorial ; essas velocidades vetoriais absolutas são normalmente expressas no mesmo referencial inercial. Então, a velocidade vetorial do objeto A objeto B é definida como a diferença dos dois vetores velocidade vetorial:
Da mesma forma, a velocidade vetorial relativa do objeto B se movendo com velocidade vetorial , em relação ao objeto A se movendo com velocidade vetorial é:
Geralmente, o referencial inercial escolhido é aquele no qual o último dos dois objetos mencionados está em repouso.
Na mecânica newtoniana, a velocidade vetorial relativa independe do referencial inercial escolhido. Este não é mais o caso na relatividade especial, na qual as velocidades vetoriais dependem da escolha do referencial.
Velocidades escalares No caso unidimensional, as velocidades são escalares e a equação é: se os dois objetos estiverem se movendo em direções opostas, ou: se os dois objetos estiverem se movendo na mesma direção.
Sistemas de coordenadas
Coordenadas cartesianas Em sistemas de coordenadas cartesianas multidimensionais, a velocidade vetorial é dividida em componentes que correspondem a cada eixo dimensional do sistema de coordenadas. Em um sistema bidimensional, onde existem um eixo x e um eixo y, as componentes correspondentes da velocidade vetorial são definidas como:
O vetor velocidade vetorial bidimensional é então definido como . A magnitude deste vetor representa a velocidade escalar e é encontrada pela fórmula da distância como:
Em sistemas tridimensionais onde há um eixo z adicional, a componente correspondente da velocidade vetorial é definida como:
O vetor velocidade vetorial tridimensional é definido como , com sua magnitude também representando a velocidade escalar e sendo determinada por:
Enquanto alguns livros didáticos usam a notação de subscrito para definir as componentes cartesianas da velocidade vetorial, outros usam , e para os eixos , e , respectivamente.White, F. M. (2008). Fluid mechanics. The McGraw Hill Companies.
Coordenadas polares