A lagrangiana de Darwin (nomeado em homenagem a Charles Galton Darwin, neto do naturalista) descreve a interação que conduz a entre duas partículas carregadas no vácuo, em que c é a velocidade da luz. Foi derivado antes do advento da mecânica quântica e resultou de uma investigação mais detalhada das interações eletromagnéticas clássicas dos elétrons em um átomo. A partir do modelo de Bohr sabia-se que eles deveriam estar se movendo com velocidades próximas à da luz. C.G. Darwin, The Dynamical Motions of Charged Particles, Philosophical Magazine 39, 537-551 (1920).
A lagrangiana completa para duas partículas em interação é
onde a parte da partícula livre é
A interação é descrita como
onde a interação de Coulomb em unidades gaussianas é
enquanto a interação de Darwin é
Aqui e são as cargas nas partículas 1 e 2, respectivamente, e são as massas das partículas, e são as velocidades das partículas, é a velocidade da luz, é o vetor entre as duas partículas, e é o vetor unitário na direção de .
A primeira parte é a expansão de Taylor da lagrangiana livre de duas partículas relativísticas de segunda ordem em v. O termo de interação de Darwin é devido a uma partícula reagindo ao campo magnético gerado pela outra partícula. Se termos de ordem superior em forem retidos, então os graus de liberdade do campo devem ser levados em consideração, e a interação não pode mais ser considerada instantânea entre as partículas. Nesse caso, os efeitos de retardo devem ser levados em conta.
Derivação no vácuo A interação relativística lagrangiana para uma partícula com carga q interagindo com um campo eletromagnético é
onde é a velocidade relativística da partícula. O primeiro termo à direita gera a interação de Coulomb. O segundo termo gera a interação de Darwin.
O vetor potencial in the calibre de Coulomb é descrito por
onde a corrente transversal é a corrente solenoidal (ver decomposição de Helmholtz) gerado por uma segunda partícula. A divergência da corrente transversal é zero.
A corrente gerada pela segunda partícula é
a qual tem uma transformada de Fourier
A componente transversal da corrente é
É facilmente verificado que
o qual deve ser verdadeiro se a divergência da corrente transversal for zero. Vemos que é a componente da corrente transformada de Fourier perpendicular a .
Da equação do potencial vetorial, a transformada de Fourier do potencial vetorial é
onde mantivemos apenas o termo de ordem mais baixa em .
A transformada inversa de Fourier do potencial vetorial é
onde
O termo da interação de Darwin na lagrangiana é então
onde novamente mantivemos apenas o termo de menor ordem em .
Equações lagrangianas de movimento A equação de movimento de uma das partículas é
onde é o momento da partícula.
Partícula livre A equação de movimento para uma partícula livre desprezando as interações entre as duas partículas é
Partículas interagindo Para partículas em interação, a equação de movimento torna-se
Hamiltoniana para duas partículas no vácuo A hamiltoniana de Darwin para duas partículas no vácuo está relacionado à lagrangiana por uma transformada de Legendre, isto é,
A hamiltoniana torna-se
Essa hamiltoniana fornece a energia de interação entre as duas partículas. Argumentou-se recentemente que, quando expressas em termos de velocidades de partículas, deveríamos simplesmente definir no último termo e inverter seu sinal. K.T. McDonald, Darwin Energy Paradoxes, Princeton University (2019).
Equações de movimento As equações de movimento hamiltonianas são
e
a qual resulta
e
Eletrodinâmica quântica A estrutura da interação de Darwin também pode ser vista claramente em eletrodinâmica quântica e devido à troca de fótons na ordem mais baixa de teoria da perturbação. Quando o fóton tem quadrimomento com vetor de onda seu propagador no calibre de Coulomb tem dois componentes. V. B. Berestetskii, E. M. Lifshitz, and L. P. Pitaevskii, Relativistic Quantum Theory, Pergamon Press, Oxford (1971).
resulta na interação de Coulomb entre duas partículas carregadas, enquanto
descreve a troca de um fóton transversal. Tem um vetor de polarização e acopla-se a uma partícula com carga e trimomento com uma força Dado que neste calibre, não importa se usamos o momento da partícula antes ou depois do fóton se acoplar a ela.
Na troca do fóton entre as duas partículas, pode-se ignorar a frequência comparada com no propagador trabalhando com a precisão em que é necessária aqui. As duas partes do propagador então resultam juntas a hamiltoniana efetiva
por sua interação no espaço k. Isto é agora idêntico ao resultado clássico e não há vestígios dos efeitos quânticos usados nesta derivação.
Um cálculo semelhante pode ser feito quando o fóton se acopla a partículas de Dirac com spin e usado para uma derivação da equação de Breit. Isso resulta o mesmo que a interação de Darwin mas também termos adicionais envolvendo os graus de liberdade do spin e dependendo da constante de Planck.
Ver também Teoria do absorvedor de Wheeler e Feynman
Categoria:Magnetismo Categoria:Equações da física