Em matemática, os números de Euler são uma sequência E n de inteiros definida pela expansão da série de Taylor
,
onde é a função cosseno hiperbólico. Os números de Euler estão relacionados a um valor especial dos polinômios de Euler, a saber:
Os números de Euler aparecem nas expansões da série de Taylor das funções secante e secante hiperbólica. Esta última é a função na definição. Elas também ocorrem em combinatória, especificamente ao contar o número de permutações alternadas de um conjunto com um número par de elementos.
Exemplos Os números de Euler de índices ímpares são todos zero. Os pares têm sinais alternados. Alguns valores são: E0=1E2=−1E4=5E6=−61E8=E10=E12=E14=E16=E18= Alguns autores reindexam a sequência para omitir os números de Euler ímpares com valor zero, ou alteram todos os sinais para positivos . Este artigo adere à convenção adotada acima.
Fórmulas explícitas
Em termos de números de Stirling do segundo tipo As duas fórmulas a seguir expressam os números de Euler em termos de números de Stirling do segundo tipo
onde dentota os números de Stirling do segundo tipo, e denota o fatorial descendente.
Como uma soma dupla As duas fórmulas a seguir expressam os números de Euler como somas duplas
Como uma soma iterada Uma fórmula explícita para os números de Euler é:
onde denota a unidade imaginária com .
Como uma soma sobre partições O número de Euler pode ser expresso como uma soma sobre as partições pares de ,
bem como uma soma sobre as partições ímpares de ,
onde em ambos os casos e
é um coeficiente multinomial . Os deltas de Kronecker nas fórmulas acima restringem as somas sobre os s a e a , respectivamente.
Como no exemplo:
Como um determinante é dado pelo Determinante
Como uma integral também é dado pelas integrais:
Congruências W. Zhang obteve as seguintes identidades combinatórias relativas aos números de Euler. Para qualquer primo , nós temos
onde denota o resto da divisão inteira de a por b.
W. Zhang e Z. Xu provaram que, para qualquer primo e inteiro , nós temos
onde é a função totiente de Euler .
Aproximação assintótica Os números de Euler crescem muito rapidamente para índices grandes, pois têm o seguinte limite inferior
Números em ziguezague de Euler A série de Taylor de é
onde são os números em ziguezague de Euler, começando com
1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ...
Para todos os pares,
onde é o número de Euler; e para todo ímpar,
onde é o número de Bernoulli .
Ver também Número de Bernoulli Constante de Euler-Mascheroni
Referências
Ligações externas
Categoria:Leonhard Euler Categoria:Sequências de números inteiros