O teorema de Fueter–Pólya, provado pela primeira vez por Rudolf Fueter e George Pólya, afirma que as únicas funções de pareamento polinomial quadráticas são os polinômios de Cantor.
Introdução Em 1873, Georg Cantor mostrou que o chamado polinômio de CantorG. Cantor: Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, J. Reine Angew. Math., Band 84 (1878), Páginas 242–258
é um mapeamento bijetivo de para . O polinômio dado pela troca das variáveis também é uma função de pareamento.
Fueter estava investigando se existem outros polinômios quadráticos com esta propriedade e concluiu que este não é o caso, assumindo . Ele então escreveu para Pólya, que mostrou que o teorema não requer essa condição.Rudolf Fueter, Georg Pólya: Rationale Abzählung der Gitterpunkte, Vierteljschr. Naturforsch. Ges. Zürich 68 (1923), Páginas 380–386 Declaração Se é um polinômio quadrático real em duas variáveis cuja restrição a é uma bijeção de para então é
ou
Prova A prova original é surpreendentemente difícil, usando o teorema de Lindemann-Weierstrass para provar a transcendência de para um número algébrico diferente de zero . Em 2002, M. A. Vsemirnov publicou uma prova elementar deste resultado.M. A. Vsemirnov, Two elementary proofs of the Fueter–Pólya theorem on pairing polynomials. St. Petersburg Math. J. 13 (2002), no. 5, pp. 705–715. Correção: ibid. 14 (2003), no. 5, p. 887. Conjectura de Fueter–Pólya O teorema afirma que o polinômio de Cantor é o único polinômio de pareamento quadrático de e . A conjectura é que esses são os únicos polinômios de pareamento desse tipo, de qualquer grau. Dimensões superiores Uma generalização do polinômio de Cantor em dimensões superiores é a seguinte:P. Chowla: On some Polynomials which represent every natural number exactly once, Norske Vid. Selsk. Forh. Trondheim (1961), volume 34, pages 8–9
A soma desses coeficientes binomiais produz um polinômio de grau em variáveis. Este é apenas um de pelo menos polinômios de empacotamento não equivalentes para dimensões.
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