direita|miniaturadaimagem|área verde + área azul = área vermelha miniaturadaimagem|Pitágoras como um caso especial:área verde = área vermelha Em geometria, o teorema de Apolônio é um teorema que relaciona o comprimento de uma mediana de um triângulo aos comprimentos de seus lados. Ele afirma que a soma dos quadrados de dois lados quaisquer de qualquer triângulo é igual ao dobro do quadrado da metade do terceiro lado, somado ao dobro do quadrado da mediana que bissecta o terceiro lado.
O teorema é encontrado como proposição VII.122 da Coleção de Pappus de Alexandria (). Pode ter estado no tratado perdido de Apolônio de Perga chamado Lugares Planos (aprox. 200 a.C.), e foi incluído na reconstrução de 1749 desse trabalho por Robert Simson.
Enunciado e relação com outros teoremas Em qualquer triângulo se é uma mediana (), então É um caso especial do teorema de Stewart. Para um triângulo isósceles com a mediana é perpendicular a e o teorema se reduz ao teorema de Pitágoras para o triângulo (ou triângulo ). Do fato de que as diagonais de um paralelogramo se bissectam mutuamente, o teorema é equivalente à lei do paralelogramo.
Demonstração miniaturadaimagem|Demonstração do teorema de Apolônio O teorema pode ser demonstrado como um caso especial do teorema de Stewart, ou pode ser demonstrado usando vetores (veja lei do paralelogramo). A seguir está uma demonstração independente usando a lei dos cossenos.
Seja um triângulo com lados com uma mediana traçada para o lado Seja o comprimento dos segmentos de formados pela mediana, então é metade de Sejam os ângulos formados entre e como e onde inclui e inclui Então é o suplemento de e A lei dos cossenos para e afirma que
Somando a primeira e a terceira equações, obtemos como queríamos demonstrar.
Ver também
Referências
Leitura adicional
Dover reprint, 1988.
Categoria:Geometria euclidiana