thumb|Os lados do paralelogramo ABCD são mostrados em azul e as diagonais em vermelho. A soma das áreas dos quadrados azuis é igual à dos vermelhos. Em matemática, a forma mais simples da lei do paralelogramo (também chamada de identidade do paralelogramo) pertence à geometria elementar. Ela afirma que a soma dos quadrados dos comprimentos dos quatro lados de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados dos comprimentos das duas diagonais. Usamos estas notações para os lados: AB, BC, CD, DA. Mas como na geometria euclidiana um paralelogramo necessariamente tem lados opostos iguais, ou seja, AB = CD e BC = DA, a lei pode ser enunciada como

Se o paralelogramo for um retângulo, as duas diagonais têm comprimentos iguais AC = BD, então e a afirmação se reduz ao teorema de Pitágoras. Para o quadrilátero geral (com quatro lados não necessariamente iguais), o teorema do quadrilátero de Euler afirma

onde é o comprimento do segmento de reta que une os pontos médios das diagonais. Pode-se ver no diagrama que para um paralelogramo, e assim a fórmula geral se simplifica para a lei do paralelogramo.

Demonstração right|thumb No paralelogramo à direita, seja AD = BC = a, AB = DC = b, Usando a lei dos cossenos no triângulo obtemos:

Em um paralelogramo, ângulos adjacentes são suplementares, portanto Usando a lei dos cossenos no triângulo produz:

Aplicando a identidade trigonométrica ao resultado anterior, demonstra-se:

Agora a soma dos quadrados pode ser expressa como:

Simplificando esta expressão, obtém-se:

A lei do paralelogramo em espaços com produto interno thumb|Vetores envolvidos na lei do paralelogramo. Em um espaço normado, o enunciado da lei do paralelogramo é uma equação relacionando normas:

A lei do paralelogramo é equivalente à afirmação aparentemente mais fraca:

porque a desigualdade inversa pode ser obtida dela substituindo por e por e então simplificando. Com a mesma demonstração, a lei do paralelogramo também é equivalente a:

Em um espaço com produto interno, a norma é determinada usando o produto interno:

Como consequência desta definição, em um espaço com produto interno, a lei do paralelogramo é uma identidade algébrica, facilmente estabelecida usando as propriedades do produto interno:

Somando estas duas expressões:

como requerido.

Se é ortogonal a significando a equação acima para a norma de uma soma torna-se:

que é o teorema de Pitágoras.

Espaços vetoriais normados que satisfazem a lei do paralelogramo

A maioria dos espaços vetoriais normados reais e complexos não possui produtos internos, mas todos os espaços vetoriais normados têm normas (por definição). Por exemplo, uma norma comumente usada para um vetor no espaço de coordenadas reais é a -norma:

Dada uma norma, pode-se avaliar ambos os lados da lei do paralelogramo acima. Um fato notável é que se a lei do paralelogramo se mantém, então a norma deve surgir da maneira usual a partir de algum produto interno. Em particular, ela se mantém para a -norma se e somente se a chamada norma ou norma .

Para qualquer norma que satisfaça a lei do paralelogramo (que necessariamente é uma norma de produto interno), o produto interno que gera a norma é único como consequência da identidade de polarização. No caso real, a identidade de polarização é dada por:

ou equivalentemente por

No caso complexo, é dada por:

Por exemplo, usando a -norma com e vetores reais e a avaliação do produto interno procede como segue:

que é o produto escalar padrão de dois vetores.

Outra condição necessária e suficiente para que exista um produto interno que induza a norma dada é que a norma satisfaça a desigualdade de Ptolomeu:

Ver também Propriedade comutativa François Daviet de Foncenex Espaço com produto interno Distância de Minkowski Espaço vetorial normado Identidade de polarização Desigualdade de Ptolomeu

Referências

Ligações externas

A Lei do Paralelogramo Provada Simplesmente no blog Dreamshire A Lei do Paralelogramo: Uma Prova Sem Palavras em cut-the-knot

Categoria:Geometria elementar