Logaritmul natural al unui număr real pozitiv este logaritmul în baza constantei . El se notează în mod obișnuit și este definit ca inversa funcției exponențiale . În consecință, pentru orice există un unic număr real astfel încât , iar acest număr este .Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, „Tutorial 3. Funcția exponențială”, curs în format PDF; definește funcția logaritm natural ca inversă a funcției exponențiale.Universitatea Babeș-Bolyai, „Algebra pentru informatică”, exemplul 1.3.10: , , este inversabilă și are inversa .
Notația standard este . În contexte în care apar și alte baze, se folosesc notațiile generale , cu și , iar logaritmul natural este cazul particular . Funcția realizează o corespondență bijectivă între mulțimea numerelor reale pozitive și mulțimea numerelor reale: .
Definiție
Definiția funcției logaritm natural poate fi formulată în mai multe moduri echivalente.
Prin definiția inversă, este numărul pentru care , cu . Asta înseamnă că
Această dualitate este temeiul tuturor proprietăților fundamentale ale logaritmului natural.
O altă formulare, folosită frecvent în analiză, identifică cu integrala
formulă echivalentă cu definiția prin inversa exponențialei. Din această perspectivă, logaritmul natural măsoară „aria semnată” acumulată sub graficul funcției între 1 și . Această interpretare explică atât proprietatea de adunare la produs, cât și rolul lui în integrare și în studiul creșterii funcțiilor.
Notații uzuale
Cea mai răspândită notație este . În unele lucrări apare și scrierea , însă notația este preferată fiind mai scurtă și mai puțin ambiguă. În unele contexte, logaritmul natural este numit și logaritm neperian.
Pentru alte baze se folosește notația ; atunci baza trebuie să satisfacă și . În calcule, notația trebuie folosită cu atenție, deoarece în funcție de context poate desemna logaritmul zecimal sau un logaritm într-o bază precizată explicit.
Relația cu funcția exponențială și cu constanta
Logaritmul natural și funcția exponențială sunt funcții inverse una față de cealaltă. Dacă , atunci este inversa ei, iar identitățile
sunt echivalente cu definiția. În particular, , deoarece , și , deoarece .
Constanta este baza naturală a acestei funcții.Encyclopaedia Britannica, „John Napier” și „Logarithm”; Britannica menționează că Napier a introdus conceptul de logaritmi în secolul al XVII-lea.MacTutor History of Mathematics, „The number e”; prezintă apariția numărului în legătură cu tabelele de logaritmi naturali și rolul său ca bază a logaritmului natural.
Domeniu, imagine, continuitate și monotonicitate
Funcția este definită numai pentru numere reale strict pozitive:
Imaginea ei este întreaga mulțime a numerelor reale:
Aceasta rezultă din faptul că este inversa unei funcții exponențiale bijective. Funcția este continuă și derivabilă pe domeniul său.
Derivata sa este
C. Neculaescu, „Note de curs pentru Analiză Matematică” (11.10.2013), secțiunea despre funcția logaritm natural: pentru se obține , iar justificarea se face prin derivata funcției inverse.Universitatea Babeș-Bolyai, tabelul „Derivate și integrale”: și .
Din faptul că , pentru orice , rezultă că funcția este strict crescătoare pe intervalul . Din aceeași formulă se deduce și concavitatea funcției, deoarece derivata a doua este
ceea ce arată că graficul funcției este concav în jos pe întreg domeniul de definiție.
În plus,
astfel încât dreapta reprezintă o asimptotă verticală a graficului funcției.
Proprietăți fundamentale
Proprietățile algebrice ale logaritmului natural rezultă din proprietățile exponențialei și din unicitatea inversei:
În particular, dacă și numai dacă . De asemenea, deoarece funcția este strict crescătoare, rezultă că pentru orice ,
O identitate foarte utilă este
care permite rescrierea expresiilor ce conțin puteri cu exponent real într-o formă compatibilă cu derivatele și integralele. De exemplu, pentru și ,
Această scriere este fundamentală în analiza funcțiilor de tip putere și în studiul ecuațiilor diferențiale.
Schimbarea bazei
Pentru orice bază , , și orice , logaritmul în baza se exprimă prin logaritmul natural:
Aceasta este formula de schimbare a bazei. Ea arată că toți logaritmii reali diferă între ei doar printr-un factor constant. Prin urmare, orice proprietate de calcul a logaritmilor poate fi redusă la cazul natural.
Exemplu:
Un alt exemplu:
Derivare și integrare
Formula de derivare
este una dintre cele mai importante formule ale calculului diferențial. Ea se obține fie din derivata inversei funcției exponențiale, fie din definiția integrală a logaritmului natural.
Din ea rezultă imediat formula pentru logaritmul într-o bază oarecare:
În particular, dacă , recăpătăm derivata lui .
Formula de primitivă (integrală) corespunzătoare este
iar, pe intervale unde expresia este definită cu semn fix, se pot scrie și forme de tipul
De asemenea, .Universitatea din Craiova, „Analiză Matematică II (Calcul integral)”, tabel de primitive: include formule de tipul și pe intervalele corespunzătoare.
Exemplu de calcul:
Se face integrare prin părți cu și .
Atunci și , deci
Exemplu de integrală definită:
Punem , de unde și limitele devin , respectiv .
Rezultă
Reprezentare grafică
miniatura|dreapta|350px|Graficul funcției . Curba este strict crescătoare și concavă în jos pe intervalul . Tangenta reprezentată evidențiază variația descrescătoare a derivatei, iar apropierea graficului de axa arată existența asimptotei verticale .
Graficul funcției trece prin punctul , deoarece . El este definit numai pentru , se apropie de axa ordonatelor fără a o atinge și crește lent către . Pe măsură ce , valorile lui coboară fără limită spre , iar pentru cresc fără limită, dar mai încet decât orice putere pozitivă a lui .
În jurul punctului , graficul este aproape de dreapta tangentă
deoarece dezvoltarea locală este
Această apropiere este folosită frecvent în estimări și în calculul limitelor.Universitatea Politehnica București, „Calcul diferențial și integral”; prezintă dezvoltarea în serie a lui ca pentru .
Ecuații și inecuații cu logaritm natural
Rezolvarea ecuațiilor cu logaritm natural se face, de regulă, prin reducerea la o ecuație algebrică, ținând cont în același timp de condițiile de existență.
Exemplul 1. .
Condiția de existență este . Aplicând funcția exponențială, obținem
Exemplul 2. .
Condiția de existență este , adică .
Fiindcă este injectivă,
Exemplul 3. .
Condițiile de existență sunt . Folosind proprietatea produsului,
Rezultă
Din condiția rămâne soluția
Exemplul 4. .
Condiția de existență este . Deoarece este strict crescătoare,
Prin urmare,
În mod similar, inecuațiile care conțin logaritmi naturali se reduc, datorită monotoniei funcției , la compararea argumentelor, cu respectarea condițiilor de existență.
De exemplu,
unde
în aceleași condiții de definiție.
Aplicații în analiza matematică
Logaritmul natural apare frecvent în studierea limitelor, a seriilor, a integralelor și a ecuațiilor diferențiale.
Un fapt fundamental este
ceea ce se scrie și când .
Această relație este esențială în aproximații, dar și în dezvoltarea în serie Taylor a funcției logaritm:
În calculul integral, logaritmul natural apare ca primitivă a funcției
și în numeroase integrale raționale sau iraționale, prin substituții adecvate.
De exemplu,
deoarece derivata funcției
este .
Logaritmul natural este, de asemenea, un instrument standard pentru liniarizarea modelelor multiplicative. De exemplu, o relație de forma se transformă prin logaritmare în
adică într-un model liniar în variabilele transformate.Universitatea Babeș-Bolyai, „Statistică descriptivă II III”; explică aducerea la formă liniară a unui model de tip prin logaritmare: .
Aplicații în fizică, statistică și economie
În fizică, logaritmul natural este folosit pentru a descrie procese de amortizare și scădere exponențială. În fizica generală, decrementul logaritmic este definit ca logaritmul natural al raportului dintre două amplitudini succesive ale unui oscilator amortizat.Universitatea Politehnica Timișoara, „Curs de Fizică generală”; definește decrementul logaritmic ca logaritmul natural al raportului dintre două amplitudini succesive. În acest fel, o lege exponențială de tipul devine ușor de estimat prin raportarea a două valori consecutive.
În statistică, logaritmul natural apare în transformări logaritmice care reduc asimetria unor date și pot liniariza modele neliniare. Astfel de transformări sunt folosite în analiza regresiei, unde variabila dependentă este logaritmată pentru a obține o relație aproximativ liniară.
În economie și econometrie, transformările logaritmice sunt frecvente atunci când variabilele sunt multiplicative sau au variații de ordin de mărime foarte diferit. De exemplu, mărimea întreprinderii este definită ca logaritm natural al cifrei de afaceri, iar alte variabile, precum numărul membrilor consiliului sau vârsta firmei, sunt tratate în aceeași manieră.Academia de Studii Economice / „Amfiteatru Economic”, articolul „Modele de afaceri pentru economia circulară și ...”; utilizează logaritmul natural pentru mărimea întreprinderii, numărul membrilor consiliului și vârsta firmei. O astfel de parametrizare este utilă pentru interpretarea elasticităților și pentru comparabilitatea valorilor din serii economice.
Observații istorice
Logaritmii au fost introduși la începutul secolului al XVII-lea de John Napier, cu scopul de a simplifica calculul numeric. Mai târziu, în lucrările lui Euler, a devenit clară importanța bazei naturale și a logaritmului natural ca funcție inversă a exponențialei.
În dezvoltarea matematicii, logaritmul natural s-a impus nu doar ca instrument de calcul, ci și ca funcție structurală fundamentală în analiză. El apare în formularea multor rezultate despre creștere, concavitate, integrale improprii, ecuații diferențiale și transformări de variabile.
Referințe
Vezi și
e (constantă matematică) Logaritm
Categorie:Funcții matematice Categorie:Analiză matematică Categorie:Logaritmi Categorie:Calcul diferențial și integral