thumb|240px|right|În această diagramă, BD:DC = BA:CA. În geometrie, teorema bisectoarei exprimă o relație între lungimile segmentelor determinate de bisectoarea unui unghi al triunghiului pe latura pe care cade și cele ale laturilor acelui unghi. Apare ca Propoziția 3 din cartea a VI-a din Elementele de Euclid.
Enunț În orice triunghi ABC, bisectoarea unghiului A determină pe latura opusă (BC) segmente proporționale cu laturile unghiului:
Scriind această expresie algebrică se poate remarca o proprietate mnemotehnică a raportului lungimilor de segmente: înlocuirea punctului D cu A (și invers) nu schimbă valoarea raportului.
Propoziții înrudite Reciproca teoremei bisectoarei: Dacă un punct D interior laturii BC o împarte pe aceasta în segmente ce respectă relația , atunci AD este bisectoarea unghiului A. Teorema bisectoarei externe: Bisectoarea externă a unghiului A (dreapta pe care se află bisectoarele ambelor unghiuri externe BAC' și B'AC) determină pe dreapta BC (în exteriorul segmentului BC) punctul E pentru care are loc relația: . Dacă bisectoarea externă este paralelă cu BC, un astfel de punct nu există.
Demonstrații Folosind teorema sinusurilor Folosind teorema sinusurilor în triunghiurile ABD și ACD din desenul de mai sus:
Unghiurile ∠ ADB și ∠ ADC sunt suplementare, cu consecința că sinusurile lor sunt egale:
Unghiurile ∠ DAB și ∠ DAC sunt egale, așadar rapoartele de sinusuri din partea dreaptă a egalităților de mai sus sunt egale ceea ce implică egalitatea raporturilor de lungimi din partea stângă.
care e enunțul căutat.
Folosind raporturi de arii Se folosește raportul ariilor triunghiurilor formate de o bisectoare, exprimat în două moduri, cu două perechi diferite de baze și înălțimi.
Fie înălțimea triunghiurilor corespunzătoare bazei și jumătatea unghiului din . Atunci din desenul alăturat reiese:
Considerând înălțimile corespunzătoare laturilor AB și AC ale unghiului bisectat luate ca baze reiese pentru raportul ariilor:
Din a doua egalitate împreună cu prima egalitate reiese concluzia căutată despre raportul dorit al segmentelor:
Folosind înălțimi în diviziunea triunghiului inițial
Fie un punct D pe latura BC intre B și C și AD o ceviană oarecare, nu înălțime, B1 piciorul înălțimii din B pe AD, C1 piciorul înălțimii prin C pe AD.
Din asemănarea triunghiurilor formate cu picioarele înălțimilor
Când AD e bisectoare sinusurile din raportul din dreapta se simplifică datorită egalității unghiurilor și reiese enunțul căutat.
Folosind numere complexe sau vectori reprezentați în coordonate carteziene
Punctelor A și D le pot fi asociate numerele complexe 0 și 1 aflate pe axa reală Ox a sistemului cartezian în care punctul A coincide cu originea O. Atunci numerele complexe b și c pot fi asociate punctelor B și C cu vectori poziție segmentele OB și OC:
b = AB ( cos(θ) + i sin(θ) ), c = AC ( cos(θ) - i sin(θ) ) ; AD fiind bisectoare permite definirea unghiurilor teta și minus teta pozitive și negative cu modul egal față de axa Ox
thumb|right|200px
Un punct oarecare de pe segmentul BC are un număr complex asociat vectorului poziție propriu:
λ.b + (1 - λ).c = partea reală + i.sin(θ).[ λ.AC + λ.AB - AC ] unde λ este un număr real subunitar care parametrizează punctele din segment și e dat de egalitatea:
λ = DC / ( BD + DC )
Cerând ca acest punct de pe segmentul BC să fie și pe axa orizontală incluzând bisectoarea, coeficientul unității imaginare a numărului complex asociat punctului trebuie să fie nul, de unde reiese:
λ = AC / ( AB + AC )
Eliminând λ între cele două egalități precedente se ajunge la egalitatea cerută.
Vezi și Listă de teoreme matematice
Legături externe O proprietate a bisectoarelor unui unghi Demonstrație pentru Teorema bisectoarei Altă demonstrație pentru Teorema bisectoarei
Bisectoare Categorie:Geometria triunghiului